We describe a family of Fuchsian groups of genus zero, for which the Schwarzians of their Hauptmoduls are holomorphic automorphic forms of weight 4, which coincide with theta functions of certain root lattices of rank 8. ยฉ Academie des Sciences/Elsevier, Paris
Groupes fuchsiens, scluoarziens et fonctions theta
Resume.
On decrit une famille de groupes fuchsiens de genre zero . . les derivees schwarziennes de leurs ยซ Hauptmoduls ยป sont des formes automorphes holomorphes de poids 4, et coincident avec les fonctions theta de certains reseaux de rang 8. ยฉ Academic des Sciences/Elsevier, Paris
Version Irenceise abregee
Pour une fonetion 1 meromorphe dans un domaine du plan eomplexe, on definit sa derivee schwarzienne par :
expression {I, z} reste invariante si I'on transforme 1 par une fraction lineaire. Si w == w(z) est une fonetion de z, on a la regle suivante :
{f, z} == {I,w}(dwjdz)2 + {w,z} .
En partieulier, si w'(zo) :f. 0, alors dans un voisinage de Zo, on a {z ,w} == -{w,z}(dzjdw)2.
Si 1 est une fonction automorphe pour un groupe fuehsien G, alors {I,T} est une forme automorphe de poids 4 pour G. Et si G est de genre zero, i.e. si la eompaetifieation de la surface de Riemann G\f:J est de genre zero, et si 1 est un ยซ Hauptmodul ยป pour G, alors {T, f} est une fonetion rationnelle de 1. On peut montrer :
Note presentee par Jean-Pierre SERRE.