Free actions of finite abelian groups on handlebodies

✍ Scribed by Marcus Wanderley

• Publisher: Elsevier Science
• Year: 1997
• Tongue: English
• Weight: 452 KB
• Volume: 324
• Category: Article
• ISSN: 0764-4442
• DOI: 10.1016/s0764-4442(99)80410-8

✦ Synopsis

We show that two free actions of a finite abelian group (of orientation preserving homeomorphisms) on a handlebody are equivalent. Moreover, the free genus of such a group is determined.

Ophrations libres de groupes abbliens finis sur des bretaels

R&urn&

Duns cette Note, on demontre que deux operations libres d'un groupe abelien fini sur un bretzel (par des homeomorphismes qui preservent 1 'orientation) sont equivalentes. De plus, on determine le genre libre d'un tel groupe.

Version frangaise abrhgke

Soit G un groupe abelien fini. Alors G est isomorphe a un produit Z,, x . . x ZTLp, oti nr Ina . . . ]np, et cette decomposition est unique a isomorphisme p&s. On dit alors que p est la longueur de G (en abrege Z(G)). Le genre libre 9(G) de G est le minimum des genres des bretzels sur lesquels G opere librement.

Dans cette Note, on relie le genre d'un groupe abelien fini avec sa longueur par le resultat suivant: THEOR~ZME 5. -Soit G un groupe abelien jini operant librement SW un bretzel V. Alors, Q(G) = 1 $ ]G](Z(G) -1) et, de plus, il existe un bretzel G-invariant U C V tel que g(U) = 9(G) et cl( V -U) est la reunion disjointe d'anses d'indice 1.

Puis, on obtient la classification des operations libres de groupes abeliens finis sur des bretzels de genre @(G) grace au resultat ci-dessous : THI?OR~ME 8. -Soit G un groupe abelien $ni. Alors, deux operations libres de G sur un bretzel de genre 9 (G) sont Cquivalentes.

On fait une demonstration conjointe de ces deux theoremes par recurrence sur la longueur de G, compte tenu des resultats de Przytycki pour les groupes cycliques (voir [6] et [S]). Le corollaire ci-dessous decoule aussitbt des resultats anterieurs et du lemme 9. Note pr6sentCe par Michel RAYNAUD.