Es sei e = 0 , zl ,z2, . . . eine reelle Zahl, bezogen auf eine Basis g (g > 1) { Es sei N,,(s) die Hliufigkeit, mit der die Ziffer 2 (0s; zd g -1) unter den ersten n Ziffern von e vorkommt. Es hei13t dann e einfach normal zur Baaie 4,
Es sei X, der Raum der g Ziffern 0 , 1, 2 , . . ., g -1. 1st f (2) eine (stetigs)
Dann konnen wir die obige Definition auch so aussprechen: Die Zahl e ist genau dann einfach normal zur Basis g, wenn fiir f ( z ) = f ( 2 , b) n+ -(0) n+lim ( f ( 4 + -. + f ( % ) ) / n = P ( f W Daraus folgt, da13 (0) fiir jede (stetige) Funktion auf x, gilt. Es ist ji (1) ein Radonsches Ma13 mit 7; (1) = 1 und (0) kann so ausgesprochen werden') : Es ist e einfach normal zur Basis g , wenn die Folge der Ziffern von e im Raum X , gleich verteilt zum Ma13 ji ist. Es hei13t2) nun e normal zur Basis g , wenn die Zahlen e , g e , g2 e , . . I (genauer ihre Bruchteile) einfach normal zu den Basen g , g2, @, . . . sind, Fiihren wir mit X, den Produktraum P, = @Xi (X, = X,) ein, iat p , d u zugehorige Produktmaa zu ji, dann ist e normal zur Basis g , wenn ftir jede stetige Funktion f a auf P,, fur jede ntitiirliche Zahl8 und ftir jede Restklesse r mod 8 a -I-1 Iim antf,(sk, z k + l , . . . 3 ~k + r -l ) = ~# ( f , ) Z a , r ' * O0 k E r modr l ) E. HUWKA, Hamburger Abh. 40, 2 2 3 4 1 (1966). Im folgenden mit I zitiert. *) Vgl. z. B. I. Niven, Irrational Numbers (Carus Math. Monographs l l ) , New P c r b 1966, Ch. 8.