In der vorliegenden Arbeit sollen Pliichensatze fur quasikonform fortsetzbare konf orme Abbildungen hergeleitet werden, wobei ankniipfend an die Vberlegungen in [6] der Fall einer beschrtinkten, sonst allgemeinen, mel3baren Dilatationsbeschrankung behandelt werden SOU. Im Gegensatz zu 161 werden hier in jedem Fall (also nicht nur fur gewisse stiickweise konstante Dilatationsbeschriinkungen) scharfe Abschiitzungen erhalten, die wie im konformen Fall (siehe z. B. [16], [19], [20]) und irn quasikonformen Fall (siehe hierzu beispielsweise [3], [5], [6], [8], [12], [17]) die Angabe des genauen Wertebereiches einiger Bunktionale liefern. Ebenfalls wie in diesen FiiLlen erm6glichen diese Ungleichungen dariiber hinaus gegeniiber den sonst verwendeten Methoden (Variationsmethoden, Flachenstreifenmethode und Methode der Randintegration) eine gewisse Verscbrfung der dortigen Ungleichungen, da hier auch eine genaue obere Schranke der Summe eines entsprechend dem Konzept der Fliichensiitze modifizierten Funktionals und eines weiteren nichtnegativen Punktionals gegeben werden kann.
Im folgenden werden einige Bezeichnungen eingefiihrt. Es sei a0 ein 00 im Inneren enthaltendes Gebiet, welches die Vollebene sein kann, sonst aber durch endlich viele geschlossene anal@ische, paarweise disjunkte JosDm-Kurven berandet wird, deren Gesamtheit a@,, sei. In a0 werde eine beschriinkte, meBbare Funktion po(z) 2 1 definiert, die in einem von endlich vielen geschlossenen analytischen, paarweise disjunkten JoRDm-Kurven berandeten Gebiet @ mit cn @ identisch 1 ist. Dabei seien alle Randkomponenten von a0 auch Randkomponenten von @, d. h., @ entsteht durch das ,,Herausstanzen weiterer Locher" aus a0, wobei die Randkomponenten von @j0 unbescbdigt erhalten bleiben sollen. Es sei noch darauf hingewiesen, daB im Pall, a0 ist die Vollebene, @i 4 @, , gelten moge. Es werden dann alle stetigen schlichten Abbildungen f ( z ) von B0 betrachtet, die in @ konform sind, bei z = 03 die Entdcklung besitzen und nach @, , \ @ noch po(z)-quasikonforml) fortsetzbar sind. Diese Tunktionen mogen die Menge qa0, p O ( z ) ] bilden. Im weiteren sei T(w) eine in keiner Kreisscheibe konstante Funktion mit den folgenden Eigenschaften. A) T ( w ) ist fur jedes f(z) E iT[@,,,p0(z)] im Komplement des Bildes von @ bei w = f(z) analytisch. (Man beachte, da13 T(w) auch von f(z) abhiingen kann!) l) Eine quasikonforme Abbildung heiBt p,(z)-quasikonform, wenn infinitesimale Kreise um den Punkt z i n infinitesimale Ellipsen mit einem AchsenverhSItnis 5 p&) ubergehen. 10*