We eharacterise the fixed points of the polarity of a de Morgan algebra by means of binary partitions of the subset of join-irreducible elements. We apply this characterisation to compute the number of fixed" points in the finite distributive lattices every interval of which can be made into a de Morgan algebra and in the free distributive lattices FD(n) with n generators. We provide complete results for n ~<6 and for every polarity definable on FD(n). La d6termination du cardinal de FD(n), le treillis distributif libre a n g6n6rateurs, a suscit6 une abondante litt6rature. Certains auteurs se sont 6galement int6ress6s ~ des 616ments particuliers de ce treillis, notamment les points fixes d'un certain automorphisme dual involutif (ou encore polarit6). Ce sont les '616merits ipsoduaux' de Monjardet [2], d6j~ consid6r6s par Rivi~re . Mais en fait FD(n) admet plusieurs polarit6s d~s que n> 1. En d'antres termes, FD(n) peut ~tre 6rig6 en alg~bre de Morgan de plusieurs mani~res. D~ lors, il est naturel de poser le probl~me de la d&ermination des points fixes dans un cadre plus g6n6ral, ~ savoir celui des alg~bres de Morgan. Soit J(L) l'ensemble des 61~ments sup-irr&luctibles non nuls d'un treillis distributif fini L et supposons clue J(L) admette une polarit6 q~. Pour tout x eL d6fmissons Jx comme suit: Ix = {p e J(L):Β’(p)~x}. Alors, par un th6or~me de Monteiro [3], si l'on pose ~(x)= VL J~, q~ est une polarit6 de Let L = (L; v, ^, ~, 0, 1) est tree alg~bre de Morgan. Un point fixe de β’ est un 616ment xeL tel que ~(x)=x, ce que nous notons x~;~(L). Nous montrons que x~ff;~(L) si et settlement si Y(L)=Jx(Aq~(J~). Nous appliquons alors ce r6sultat ~ la d6termination des points fixes de deux types de treillis.
(1) les treilli~ relatifs de Morgan [5], c'est-~-dire les treillis distributifs finis dont tout intervalle peut 6tre 6rig6 en alg6bre de Morgan. Ce sont des produits directs de chafnes (finies). rl r k Si L = n 1 x...x n k (oh n~ d6signe la chalne fi n~ 616ments, tous les n~ sont distincts et sup6rieurs h 1, r~ e N), alors le nombre d'alg~bres de Morgan non isomorphes d6fmissables sur L est [(r 1 + 2)/2] x.--x [(r k + 2)12]. Les bornes inf6rieure et sup6rieure de I (L)l sont fournies. (2) les lattis distributifs libres FD(n). Le nombre d'alg~bres de Morgan non isomorphes d6flnissables sur FD(n) est [(n + 2)/2]. L'ensemble J(FD(n)) est isomorphe au treillis de Boole 2" dont on a erdev6 le 0 et le 1, et toute polarit6 de J(FD(n)) est le produit d'un automorphisme involutif a et de l'op6ration de compl6mentation sur 2". Trois cas sont envisag6s suecx~ivement: (a) et ne laisse anetm atome fixe (ce qui requiert n pair). Alors ~ (L) est vide. (b) a laisse au moins ten atome fixe. Alors (Th6or~me 3.4) I (L)l est 6gal au nombre des id6anx d'ordre (sections commencantes) de 2 "-1 satisfaisant ~ une certaine condition.
(c) a laisse au moins deux atomes fixes. Alors (Th6or~me 3.5) la d6termination de I (L)l peut se faire en ne consid6rant que les id6aux d'ordre de 2 "-2. Nous obtenons ainsi les r6sultats complets que voici: n