In eineni beschrlnkten Gebiet 52 des dreidimensionalen Raumes befinde sich eine inhomogene zahe inkornpressible elektrisch leitende Flussigkeit. Die Stromung werde charakterisiert durch die Geschwindigkeit b, die Dichte p, den Druckp und die magnetische Feldstarke 8 , welche dem Gleichungssystem ( 1 ) 0 ( ~, + ( ~~) b ) = -g r a d p + p n b + p r o t @ , ~8 + e g , (2) &=rot(DxQ)+: A Q + g r a d w , (3) div D =O, div @ =0, pl+bVe =O genugen (vgl. [I], [2]). Dabei seien die dynsmische Zahigkeit p, die Permeabilitat p und die Leitfahigkeit u konstsnt ; g ist die Erdbeschleunigung und o ruhrt von einem Stromanteil im Ohmschen Gesetz her, der infolge der freien Bewegung der Ionen auftritt. co ist als gesuchte Funktion anzusehen (vgl. [a]). 1 P U Auf der hinreichend glatten Berandung S von 52 sei (4) b = @ = O .
( 5 )
8 =8o(x), e =eo(x).
Zum Anfangszeitpunkt f =O seien 0, @ und p in 52 bekannte Funktionen Wir fragen, ob die Anfangs-Randwertaufgxbe ( 1 ) -(5) in einein zu definierenden Sinne iin Raum-Zeit-Gebiet QT = D x [0, TI Losungen besitzt. Ohne Magnetfeld wurde tliesex Problem in [4] behandelt I). Losungsbegriff, Existenzsatz M' ir benutzen kartesische Koordinaten x =(xi, x2, x3), b =(w,, wq, w3) usw. Unter einer Losung des Problems (1) -( 5 ) verstehen wir ein Funktionssystem p, U, 8 niit folgenden Eigenschaften 1 ) $lit Hilfe der von 0. A. LADYSHENSKAJA uud V. A. SOLONNIKOW in [9], Seite 86f. benutzten Metliode laI3t sich auch ein Einzigkeitssatz beweisen. (Zusatz bei der Korrektur)