On dit qu'un espace de Riemann V , eat partiellement projectif, s'il en W t e un systhme de variables XI, . . ., a? dans lesquelles une partie des &uctions des courbee auto-pamllhles soyent d o n n k par des Bquations lin6-* B dans XI, . . . , xn. Cela arrive, en particulier, si lea symboles de Christoffel @O & eeconde espkce de la mCtrique de l'espace V,, s u p p o s ~ non d6gCn&e, mt de la forme co It",'=S:v8+6:qr ( a = m + l , . ..,n) bb p, sont des fonctions des variables xl, . . ., x, et d: sont lea symboles b Kronecker. En effet il eat facile t i vojr que dans ce caa les courbes Wk-parall&les de I'espace V , se trouvent dans des variBt4s linbkes 8. m &mansions. Si nz = 0 , l'espace V, eat projectivement euclidien et on sait &ns qu'il eat B courbure constante. Si m = 1 l'espace s'appelle, d'ap&s b a n , sousprojectif. J'ai montrd') que dans le caa oh la mbtriqye de l'espace V , eat dBfmie p t t i v e et lea Bquations (1) sont vCrifi8es avec m. > 0 et plus petit que II -1, la mCtrique de I'espace V, peut-btre rBduite R la forme canonique fo, d s z = a i j d x i d & + y b , , dx" d b (a, i s m , u , @ > m ) ob a,, et y dBpendent des variables x l , . . . , xm et b,, dza d$ eat la mBtrique d'un espaae V,,-m B courbure constante, lea aP (a = m + 1, . . . , n) Btant pour l'espace Vn-m des variables projectives, donc des variables dans lea-Qosllee lea gBodCsiques sont des lignes' droites.
I.