Ergodizitätseigenschaften rekurrenter Ereignisse. II
✍ Scribed by Klaus Matthes; Kurt Nawrotzki
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1962
- Tongue
- English
- Weight
- 443 KB
- Volume
- 24
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
I n dieser Note werden Bedingungen aufgestellt, unter denen der in I init Hilfe des Begriffs der schwachen Konvergenz formulierte Ergodensatz zu einer Aussage uber die Konvergenz in Variation verscharft werden kann. Zunachst wird gezeigt, daB alle stationaren Erneuerungsprozesse in negativer Zeitrichtung regular (vgl. [6] oder [7], S. 187) sind. Satz 1 gilt daher stets in verscharfter Form, wenn man sich auf absolut stetige Anfangsverteilungen p beschrankt. LaBt man diese Einschrankung fallen, so muB durch eine zusatzliche Bedingung erzwungen werden, daB fur alle q das Gew-icht des absolut stetigen Anteils von qt init wachsendem t gegen Eins strebt. Der so gewonnene Ergodensatz bildet eine Verallgemeinerung und Terscharfung eines bekannten Ergebnisses von DOOB (vgl. [l], Theorem 12). Er kann auch ohne Benutzung von Satz 1 abgeleitet werden, indem man einen allgemeinen Ergodensatz von SEWASTJANOW (vgl. [3]) heranzieht. 3. Es bezeichne G'-bzw. G t " die von den Mengen ( f : f ( t ) E L ] ( L E %, t 5 t bzw. t 2 t ) erzeugte o-Unteralgebra von G'. I n Verschiirfung von Korollar 2 zu Satz 1 gilt
1 mit wachsendem t gegen Null. Beweis. Zu jedem K und jedem positiven E existiert eine der Cngleichung W ( ( K \ D) w (D \ K ) ) < E genugende Vereinigung D endlich vieler paarweise disjunkter Ereignisse der Form { f : eJV(@,) E A!;; fur v = 1, . . ., n} (vgl. I, S. 117). Es reicht daher aus, die Behauptung fur Ereignisse dieser Gestalt abzuleiten, wobei wir zusatzlich annehmen diirfen, alle Intervalle J , seien in jO,+cm[ enthalten.