Equaçoes Diferenciais Aplicadas

✍ Scribed by Djairo Guedes Figueiredo, Aloisio Freiria Neves

• Publisher: IMPA
• Year: 1979
• Tongue: Portuguese
• Leaves: 360
• Series: 12° Colóquio Brasileiro de Matemática
• Edition: 1
• Category: Library

✦ Synopsis

SOBRE OS AUTORES

Djairo Guedes de Figueiredo

Natural de Limoeiro do Norte, Ceará, é Engenheiro Civil (UFRJ, 1956), Master of Science (NYU, 1958) e Doctor of Philosophy (NYU, 1961). Por vários anos foi Professor Titular das Universidades de Illinois e Brasília. Atualmente é Professor Titular da UNICAMP. Em 1965 e 1984 foi agraciado com bolsa da Fundação Guggenheim.

É membro Titular da Academia Brasileira de Ciências, e Pesquisador 1A do CNPq desde 1985. Em 1992 foi premiado com a Bolsa de Reconhecimento Acadêmico “Zeferino Vaz”, pelo Conselho Universitário da UNICAMP e, em 1995 com a Grã Cruz da Ordem do Mérito Científico. Seu campo de pesquisa é a Teoria das Equações Diferenciais Parciais, tendo escrito várias monografias e artigos de pesquisa publicados em revistas especializadas no Brasil e no exterior.

Aloísio Freiria Neves

Ingressou no curso de Licenciatura em Matemática da PUC motivado pela própria Matemática e pela possibilidade de aprender a resolver problemas. Fez Pós-Graduação na UNICAMP, onde obteve os graus de Mestre e de Doutor. Está ligado à UNICAMP desde 1973, época em que recebeu convite para ser Instrutor de Cálculo Diferencial Integral. Hoje é Professor Livre Docente, e tem as Equações Diferenciais Parciais de Evolução como a sua área de maior interesse e de pesquisa.

SOBRE O LIVRO

É uma introdução às Equações Diferenciais Ordinárias, dirigida a alunos de graduação da área de Ciências Exatas. Os conceitos matemáticos são introduzidos de maneira cuidadosa seguidos de um grande número de aplicações. As aplicações contemplam duas atitudes extremamente importantes: a resolução das equações diferenciais, mostrando a força da teoria, e a interpretação detalhada das soluções obtidas.

O texto expõe o assunto de maneira gradativa, contém métodos elementares de obtenção de soluções, tópicos selecionados sobre a teoria básica das Equações Diferenciais, e técnicas utilizadas na descrição do espaço das configurações e no comportamento assintótico das soluções.

O livro introduz os estudantes de graduação em matemática, física e engenharia às equações diferencias aplicadas. O estudo destas equações auxilia a resolver problemas de outras ciências. O livro inicia com o Teorema Fundamental do Cálculo. Os autores procuram situar como muitas teorias matemáticas têm suas raízes em problemas da natureza, como os pensados por Newton e Leibniz em seus estudos do cálculo.

Os demais temas abordados são as equações diferenciais de primeira e segunda ordem, as propriedades gerais das equações, a transformada de Laplace, os sistemas autônomos no plano e os sistemas de equações diferenciais. Há seções que contemplam temas da física e que foram pensadas para ajudar aos professores de matemática a prepararem suas aulas sem necessitar consultar vários livros desse ramo do conhecimento.

✦ Table of Contents

CONTEÚDO

Prólogo

Capítulo 1: O Teorema Fundamental do Cálculo

Capítulo 2: Equações Diferenciais de Primeira Ordem
2.1 Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem
2.2 Equações Separáveis
2.3 A Dinâmica de uma População e Noções de Estabilidade
2.4 Exercícios
2.5 Aplicações
2.5.1 Resfriamento de um corpo
2.5.2 Diluição de soluções
2.5.3 Por que uma corda enrolada num poste sustenta um barco?
2.5.4 A tractriz
2.5.5 A catenária
2.5.6 O espelho parabólico
2.5.7 As curvas de perseguição

Capítulo 3: Propriedades Gerais das Equações
3.1 Interpretação Geométrica da equação y’ = f(x,y)
3.2 Existência, Unicidade e Dependência Contínua
3.3 Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
3.4 Equações Exatas
3.4.1 Um método prático de integração
3.4.2 Existência do fator integrante
3.5 Famílias de Curvas Planas
3.5.1 Envoltória
3.5.2 Trajetórias ortogonais

Capítulo 4: Equações Diferenciais de Segunda Ordem
4.1 Equações Lineares de Segunda Ordem
4.2 Obtenção de Soluções
4.2.1 Método de variação dos parâmetros
4.2.2 Equações Lineares com coeficientes constantes homogêneas
4.2.3 Método de redução da ordem da equação diferencial
4.2.4 Método dos coeficientes a determinar
4.2.5 A equação de Euler-Cauchy
4.2.6 Método das séries de potências
4.2.7 Método de Frobenius
4.3 Exercícios
4.4 A Dinâmica de uma partícula
4.4.1 Queda livre de corpos
4.4.2 Queda de corpos considerando a resistência do ar
4.4.3 Movimento de projéteis
4.4.4 Movimento em planos inclinados
4.4.5 Velocidade de Escape
4.4.6 Movimento de um foguete
4.4.7 Energia cinética e potencial
4.5.0 Oscilador harmônico
4.5.1 Oscilador harmônico simples
4.5.2 Oscilador harmônica amortecido
4.5.3 Oscilador forçado
4.5.4 Comentários sobre a energia do oscilador harmônico
4.6 Campos centrais de forças
4.6.1 Movimento central com força atrativa proporcional à distância ao centro
4.6.2 Movimento central com força atrativa inversamente proporcional ao quadrado da distância ao centro
4.6.3 Lei da gravitação universal
4.6.4 Leis de Kepler
4.6.5 A lei da gravitação universal e as leis de Kepler
4.6.6 A equação das órbitas dos planetas na teoria geral da relatividade
4.6.7 Satélites artificiais da terra

Capítulo 5: Transformações de Laplace
5.1 Definição de transformada de Laplace
5.2 Propriedades da transformada de Laplace
5.3 Produto de transformadas e convolução
5.3.1 Obtenção de uma solução particular de uma equação não homogênea
5.4 Exercícios
5.5 Aplicações
5.5.1 Funções descontinuas
5.5.2 Funções impulso
5.5.3 Comportamento da derivada

Capítulo 6: Sistemas Autônomos no Plano
6.1 Conseqüências do teorema de existência e unicidade
6.2 Pontos de equilíbrio ou singularidades
6.2.1 O sistema linear
6.2.2 O sistema não linear
6.3 O teorema de Poincaré-Bendixon
6.3.1 Conseqüências do teorema de Poincaré-Bendixon
6.4 Usando o software Mathematica
6.5 Exercícios
6.6 Aplicações
6.6.1 O pêndulo
6.6.2 O modelo predador-presa

Capítulo 7: Sistemas de Equações Diferenciais
7.1 Sistemas lineares de equações diferenciais
7.1.1 Definições e propriedades
7.1.2 Sistemas com coeficientes constantes
7.1.3 Exponencial de matrizes
7.2 Equação adjunta e a alternativa de Fredholm
7.3 Linearização, estabilidade e funções de Liapunov
7.4 Exercícios

Referências Bibliográficas
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