Darts cet expose, on d~finit, en chaque point x o d'une sous-vari6t6 V d'une vari&~ riemannienne I7, un endomorphisme fix° (dit 'de bascule') de l'espace tangent T~oV /t V au point xo, qui mesure la variation angulaire de TxV au voisinage de x o.
Les valeurs propres de cet endomorphisme ('basculements principaux') sont la g~n6ralisation au cas des sous-vari~t~s quelconques des valeurs absolues des courbures principales d'une hypersurface.
On obtient des interprbtations gbom&riques, d'une part de la norme euclidienne de la deuxi~me forme fondamentale vectorielle d'une sous-vari&6 quelconque, d'autre part, de la courbure de Ricci d'une sous-vari~t~ minima d'une vari~t~ riemannienne ~t courbure nulle.
On prouve notamment que, pour une sous-vari&~ minima de dimension deux, dans une vari~t~ fi courbure sectionnelle constante, la variation angulaire du plan tangent est la m~me dans toutes les directions.
Pour une sous-vari&6 V quelconque, le d&erminant de l'endomorphisme de bascule g~n&alise ~ la lois la courbure des courbes et des surfaces, c'est la 'courbure ar6olaire'.
On ~tablit une majoration gbnbrale du carr~ scalaire de Fop~rateur de courbure d'une sous-vari&6 quelconque V d'une vari&+ ~t courbure nulle, au moyen des valeurs propres de l'endomorphisme de bascule, ce qui donne, dans le cas particulier o~ Vest de dimension deux dans une varibtb fi courbure nulle, le fait que la courbure arbolaire est supbrieure ou boale fi la valeur absolue de la eourbure de Gauss. On note que l'+galit6 a lieu lorsque la surface est minima.
2. PRELIMINAIRES ET RAPPELS D'ALGEBRE EUCLIDIENNE. p
Soit E un espace euclidien de dimension n. Pour tout entier p > 0, AE est canoniquement muni d'une structure d'espace euclidien telle que:
Soit X un sous-espace vectoriel de dimension k de E. Si (x~,..., Xk) est k une base orthonorm~e de X, alors l'~l~ment x~ ^ ... /x x k de AE est d6fini au signe pros, il est dit multivecteur unitaire associ~ ~i X. Si X et Y sont des sous-espaces vectoriels de E ayant pour dimension commune k, on d6finit l'angle (~< rt/2) de X et de Y comme 6tant le r~el 0 qui v&ifie 0 <~ 0 <~ n/2 et I(C~xlC~r) I = cosO off c~ x et ~r sont des multivecteurs unitaires respectivement associ6s a X et Y.