Eingegangen am 15.12.1965) 0. Durch das Erscheinen der ,,Grundmannigfaltigkeiten der projektiven Geometrie" von W. BURAU [5] l), insbesondere aber der ,,Mehrdimensionalen projektiven und hoheren Geometrie'' [6] desselben Verfassers diirften die dort behandelten, etwas klassischen Gebiete wieder ins Blickfeld des allgemeinen geometrischen Tnteresses geriickt worden sein. Der Begriff ,,hahere Geometrie" 1Lfit sich zwar nicht genau fassen, jedenfalls aber spielen die sog. ubertragungsprinzjpien in ihr eine anregende Rolle 2 ) . Der Anreiz, sich mit ihnen zu beschiiftigen, wird wohl immer wieder dadurch gegeben, dafi vollig bekannte Sachverhalte der projektiven Geometrie in einem passend dimensionierten Raume in einem geometrischen Gebilde wiedergegeben werden, das die Ausgangsgegebenheiten in neuen, iiberraschenden Zusammenhangen erscheinen lafit und so aus ,,hoherer" Sicht (indem z. B. auch friiher nicht benutzte Mittel gebraucht werden) zu betrachten gestattet.
Hier sol1 geschildert werden, wie vom Standpunkt der so umschriebenen ,,hoheren Geometrie" aus die wohlbekannten projektiven Abbildungen einer Geraden in sich auf Grund der XT~PHANOSSChen Abbildung 3) behandelt werden konnen, wenn die von BURAU mehrmals gestreifte ,,Matrizengeometrie" e twas mehr in den Vordergrund geriickt wird4). Der Gegenstand 1) Eine Zahl in eckigen Klammern verweist auf die entsprechende Arbeit des Literaturverzeichnisses auf S. 376. 2) Zu Obertragungsprinzipien, bei denen eine regulare Hyperflache zweiter Ordnung von Bedeutung ist, vgl. WAGNER [26]. 3, vgl. STEPHANOS [22]; man spricht auch von CARTAN-SThPHANOSSCheP Abbildung, vgl. E. CARTAN [7], 262ff., COXETER [8], 136ff.; s. auch ROTHE [20]. 4) Diese Betrachtungen konnen auch als Erganzung des bei BURAU [ 5 ] , S. 92, unter ,,n = 1" Mitgeteilten angesehen werden. -Im iibrigen diirfte wohl wesentlich alles, was iiber die Projektivitiiten einer Geraden auszusagen ist, zu finden sein bei E. CARTAN [7]; es werde auch verwiesen auf F. KLEIN [14]. 1. Es ist iiicht ungunstig, den Begriff der projektiven Gleichheit voii Definition. Zwei JIatrizen A , B gleicheii Formats, von denen keiiie Kullmatrix ist. hei13en projekfic-gEeich, wenii sie iiber deni betrachteten Gruiidkorper linear abhangig siiid: in Zeiclieii: A B. Eerrier soll eine Matrix, die durch zu ihr projektiv-gleiche Jlatrizen ersetzt werdeii darf, projektic-einde fig (best ininit ) gcnaimt merdcii. Die Klasseii der projektiv-gleichen. den peordiieten Paaren (xo, xI) + ( O , 0)
kompleser Zahleii entsprechendeii (2.1)-JIatrizen x = (,::) i . ( " 0) beschreibeii \Iiiikehrbar-eiiideutig die Pnnkte X eiiier konipleseii projektiven Geraden; x = ' heifit ciii Koordinrrfencektor (KV) voii 5.