Wir bezeichnen mit kleinen lateinischen Buchstaben naturliche Zahlen, rnit p Primzahlen, mit u, / 3, E , A, y , p, (T reelle Zahlen, init p die MoBIusschc Funktion, mit D ( n ) die Anzahl der Teiler von n und init v(a, b ) die Anzahl der mod b inkvngruneten Losungen von u 2 = u mod b. Eine k-freie Zahl ist eine naturliche Zahl, die diirch keine k-te Poteiiz einer Priinzahl teilbar ist ( k > 1) ; fur 2-frei sagt man auch quadratfrei. Ferner bezeichne G ( n ) bzw.
Q h , (n) die dnzahl der Darstellungen von n in der Gestalt
(1)
Fur jedes E > 0 gilt dann bzw. ~n i t einer nur von E bzw. niir von lc und e abhangigen Konstanten iin Restglied. Aus (3) bzw. (4) folgt, daf3 jede hinreichend g r o h naturliche Ztthl ?& in der Gestalt (1) bzw. ( 2 ) geschrieben werden kann. In dieser Note werden mir, ausgehentl von den Ansiitzen in [l] und [2], Versllgenieineuungen voii (3) und (4) bewcisen. Inshesondere werden wir zeigcn, daS jede hinreichend groDe naturliche Zahl n auch dann noch in der Gestalt (1) bzw. (2) geschrieben werden kann, wenn q (und damit auch xz) bzw. a (und daniit auch b ) auf ein Interval1 der Lange n" (x > t; bzw. x > -: beschriinlrt uird. Dazu bezeichnen wir noch mit G ( n ; A, u , 1) bzw. Qk,l ( n ; i , x . 6) die Anzahl der Losungen von (1) bzw. ( 2 ) unter der Nebenbedingung k i -7 1 5 j q -A i I ) / l n " bzw. / a -A n l i / 3 n z . * Mein Dank gill; der Deutschen Forschungsgemeinschaft fur finanzielle Unterstutzung. 2 ) Fur dieses Ergebnis von EVELYN und LINFOOT vgl. [l].