Einige Anwendungen der lokalen Dualität und verallgemeinerte Cohen-Macaulay-Moduln
✍ Scribed by P. Schenzel
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1975
- Tongue
- English
- Weight
- 876 KB
- Volume
- 69
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Die Bedeutung der lokalen Kohomologietheorie fur die kommutative Algebra ist hinreichend bekannt. I n der vorliegenden Arbeit soll dieser Aspekt durch Ausnutzen der lokalen Dualitat (vergleiche LC, SGA 2 bzw. Lemma 5) unterstrichen werden. Im ersten Teil wird ein Satz (Satz 1) bewiesen, der fur Quotienten von lokalen GORENSTEIN-Ringen (Definition vergleiche L c oder [l]) einen zusammenhang zwischen den Tragern von Hom,(Hk(M), E ) und dem Verschwinden der lokalen Kohomologiemoduln von M p mit Trager in PAp fur einen endlicherzeugten A-Modul M zeigt. (Die Definitionen finden sich in 1.) Dieser Satz I ist eine Verallgemeinerung eines Lemmas aus SGA 2 (vergleiche Korollar 1) und stellt das Hauptinstrument fur die weiteren uberlegungen dar. I m zweiten Teil finden sich einige Folgerungen, die sich unmittelbar aus Satz 1 ergeben. Als erstes liefern wir einen neuen Beweis der bekannten Verschwindungssatze fur lokale Kohomologiemoduln mit Trager im maximalen Ideal (d. h. H & ( M ) $; 0 fur i = dimAM und H & ( M ) = 0 V i > dimAM), der gewisse Endlichkeitsaussagen benutzt und sich nicht auf die Darstellung der lokalen Kohomologiemoduln durch den Koszuh-Komplex stutzt (vergleiche hierzu LC Theorem 2.3). Zum anderen stellen wir fur Quotienten von GoRENsTEm-Ringen einen Zusammenhang zwischen den assoziierten Primidealen eines endlich-erzeugten Moduls M und den Tragern von Hom,(Hd(M), E ) her, der ein Ergebnis aus LC (Proposition 6.6) verallgemeinert. SchlieBlich wird fur einen lokalen Ring A, der Quotient eines GORENSTEIN-Ringes ist, und einen endlich-erzeugten A-Modul M die ZARISKI-Offenheit von
in Spec (A) offen. Das Ergebnis ist in EGA IV2 6.11.2 fur Quotienten von regularen, lokalen Ringen mit anderen Mitteln bereits gezeigt. Wir sind daruber hinaus in der Lage, V , ( N ) explizit anzugeben (vgl. Satz 2 ) . I m dritten Teil wird eine kohomologische GroBe endim,M ( a h Abkurzung fur ,,Endlichkeits-15' dimension") fur einen A-Modul M definiert, die Auskunft uber die endliche Erzeugbarkeit lokaler Kohoniologienioduln gibt' (vgl. Definition 1). Fur endlicherzeugte A-llloduln $1 gilt Es schlieBen sich einige technische Beinerkungen an, die das Verhalten von , ,endim" bei Ringwechsel usw. kennzeichnen. Fur Quotienten von GORENSTEIN-Ringen wird endini,ilf durch die homologische Kodiniension, codh, X p , in Lokalisierungen von ausgedriickt (vergleiche Satz 3). Wenn JI als A-Modul ein CoHEN-MACAULAY->lodul ist, haben wir codh,M 5 endim,X (= dini,M . P endirn,M = dim,iV , so daS andererseits endlich-erzeugte A-Noduln ,IT mit a h verallgemeinerte COHEN-~L~C9ULLY-~lOdUln angesehen werden konnen. I n einem abschliefienden Satz (vergleiche Satz 4) werden diese A-Moduln M , wobei A Quotient eines GORENSTEIN-Ringes ist, durch aquivalente Bedingungen unter anderem durch einen verallgeriieinerten Ungemischtheitssatzcharakterisiert . Diese Moduln verallgemeinern die in [ 141 eingefuhrte BUCHSBAUM-Struktur. Die Notwendigkeit, daB Quotient eines GORENSTEIN-Ringes ist, liegt in der Benutzung der lokalen Dualitiit. Ein Beispiel aus [3] zeigt, daB diese Voraussetzung an A nicht ohne weiteres eliminiert werden kann. Jedoch findet sich in [l2] eine Verallgemeinerung von Satz 4, die ohne diese Voraussetzung auskommt , wobei zusat,zlich Betrachtungen iiber Multiplizitaten angestellt sind. Zunachst noch einige Beinerkungen zur Terminologie. Unter einem Ring verstehen wir stets einen kommut.ativen, noetherschen Ring mit von Null verschiedenem Einselenient. Mit, ( A , m,) bezeichnen wir einen lokalen Ring A rnit dem einzigen maximalen Ideal mA, wofur wir einfach M schreiben, wenn keine Moglichkeit der Verwechslung besteht. Unter einem endlichen A -Modul M verstehen wir immer einen endlich-erzeugten A -Modul ilf. Ansonsten benutzen wir die in der kommutativen Algebra iiblichen Bezeichnungen (dirnAM, codhAiM, Supp,M, Ass,M, Ann,M usw.), wie sie etwa in [ i l l oder [9] eingefuhrt sind. An dieser Stelle rnoclite ich nicht versaumen, Herrn Prof. Dr. W. VOGEL und Herrn Dr. J. STUCKRAD fur die hilfreiche Anleitung und fur die wertvollen Gesyrache bei der Anfertigung dieser Arbeit zu danken.