1. Einleitung.
Der Beweis des sogenannten Brunn-Minkowskischen Satzes aus der Theorie der konvexen Korper fur beliebige abgeschlossene Mengen und somit die Erledigung der klassischen isoperimetrischen Aufgabe auf diesem Wege erfolgte mit Hilfe der Steinerschen Symmetrisierung zuerst durch LUSTERNIK~).
In einer Arbeit, die in den Berichten der Wiener Akademie der Wissen-schaften4) gedruckt wurde, gelang es mir d a m , denselben Satz ohne Symmetrisierung zu beweisen und damit den ersten symmetrisierungsfreien Beweis der isoperimetrischen Eigenscheft der Kugel zu geben.
Die erste allgemeine Formulierung und den ersten Beweis des Brunn-Minkowskischen Satzes fur Riemannsche Riiume konstanter Krummung beliebiger Dimension verdankt man ERHARD SOHMIDT~). Erhard Schmidt hat in einer Reihe liingerer, bedeutendec Abhandlungen4) das durch den Brunn-Minkowskischen Sate gestellte Problem nochmals i n voller Allgemeinheit in Angriff genommen unc! ist teils zu Ergebnissen gekommen, die weit iiber den urspriinglichen Problem kreis hinausgehen.
In der vorliegenden Arbeit beabsichtige ich, einen einfachen Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel fur den sphiirischen, euklidisched) und hyperbolischen Raum unter Zugrundelegung aller beschriinkten abgeschlossenen Punktmengen zu geben, und dariiber hinaus zu zeigen, da13 innerhalb einer l) L. LUSTEBNIK, Die Brunn-Minkowskische Ungleichung fur beliebige mefibare Mengen C. R. A c d . Sc. URSS 1 9 3 b , 55-58. a) A: DINQIUS, Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel fiir den n-dimensionalen Raum. S.-B. Akad. Wiss. Wien, math.-naturw. K1. IIa, 149 (1940), 399-432. Vgl. ferner: A. DINGHAS und E. SCHMIDT, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im n-dimensionalen euklidischen Raum, Abh. PreuB. Akad. Wiss., math.naturw. Kl. 1943, pr.7. *) Fiir die erste Formulierung des Brunn-Minkowskischen Satzes ftir die nichteuklidischen Riiume vgl. man E. SCJXXIDT, Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im byperbolischen und sphiirischenRaum jeder Dimensionenzahl. Math. Z. 49 (194W),1-109. 4, Vgl. insbesondere E. SCEXIDT, Die Brunn-Minkpwskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. I. Math. Nachr., Berlin I (1948), 81-157. 6, Der euklidische Fall wurde getrennt behandelt in A. DINQHAS, Einfacher Beweis der isc perimetrischen Eigenschaft der Kugel im euklidischen Raum von n Dimensionen. Math. Nachr Berlin t (1949), 107-113. Diese Arbeit enthiilt ausfiihrliche Literatur des euklidischen Falles. Dinghas, Isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in Riemannschen Rilumen. 149 breiten Klasse zuliissiger Korper die Kugel der einzige Korper ist, fur den in der isoparimetrischen Ungleichung das Gleichheitszeichen eintritt, Fur den sphiirischen Fall wird hier allerdings angenommen, daB die betreffende Punktmenge in einer Halbkugel Platz findet. Der allgemeine Fall sol1 spiiter im Zusammenhang mit dem BruFn-Minkowskischen Satz behandelt werden.
Die ersten Ansiitze des hier entwickelten Beweisverfahrens liegen weit zuriick. Ich stieB jedoch im Anfang auf groBe Schwierigkeiten und kam erst wieder auf meine. alten Ansatze zuriick, nachdem ich von einer kleineren Arbeit von HAD-WIQER~), in der er fur konvexe Korper im euklidischen Raum einen kurzen Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel entwickelte, einen neuen An-stol3 erhielt. Die Gestaltung eines einfachen Verfahrens fur nichteuklidische Riiume, und zwar fur beliebige meBbare Mengen, war keineswegs leicht und