✍ Scribed by Peter Hermann
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Dabei sind o und p vorgegebene Differentialformen vom Grad p bzw. p-2 in einer offenen Menge ac R% ( n z l , 1 Spsn+ l ) , d t ist die CARTANSChe Ableitung der gesuchten (p -1)-Differentialform 5, und 6 bezeichnet den Opemtor der Cotlbloitung zur CARTmschen Ableitung (beziiglich des kanonischen Skalarprodukts des P). Im Spezialfall n= 3, p = 2 ist das Gleichungssyatem (1) liquivalent mit dem vektoriellen Differentialgleichungssystem (2) rot v=j, div v = A , welchw in der mthemtischen Physik eine wichtige Rolle spielt. Die Theorie der Differentialgleichungssysteme ( 1) und (2) kann als eine Verdlgemeinerung der klmsischen Potentialtheorie aufgefaBt werden ; insofern bezeichnet man Losungen der zu (1) bzw. (2) gehorigen homogenen Gleichungen vielfaoh als harmonieche Differentialformen bzw. harmonische Vektorfelder. Beitrlige ziur Lasung von (2) stammen von L. LICETENSTEIN [lo], H. WEYL [18], C. Mthma [13], E. MARTENSEN [ll] (man vgl. insbesondere den ubersichtsartikel von MARTENSEN [12]), R. KRESS ([7] und [8]) und anderen, wlihrend daa Gleichungssystem (1) meines Wissens bislang nur von G. DIE REAM [lS] und R. KRESS [9] behandelt worden ist. Charakteristischfiir drta Differentialgleichungssystem (1) (und such fiir (2)) ist das Auftreten von Integrabilitiitsbedingungen: Notwendig zur Lasbarkeit von (1) sind die Bedingungen (3) dw=O, 6p=O; notwendig und hinreichend sind bekannte Bedingungen von DE REAM. Wiihrend aber DE REAM lediglich die Existenz einer partikulliren Losung von (1) (mit Hilfe dea Zerlegungssatzea von WEYL und KODAIRA allerdings allgemein auf einer i) Diem Arbeit enthiilt weaentliche Teile meiner von der ~a t h e m a t i s o h -N a t ~~c h ~tlichen F a U t der Rheinisch-Westfaliachen Technischen Hochschule Aachen genehmigten Habilitationeechrift [5].
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