Eine freie Abbildung der n-dimensionalen Sphäre in die Ebene

✍ Scribed by Erika Pannwitz

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1952
• Tongue: English
• Weight: 206 KB
• Volume: 7
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19520070306

✦ Synopsis

Von ERIKLA PANNWITZ in Berlin. (Eingegangen am 28.1.1952.) I, Den Begriff der freien Abbildung hat Herr H. HOPB [l] eingefuhrt: Eine Abbildung p eines topologischen Raumes T in den topologischen Raum T' heiBt frei, wenn es eine solche Abbildung f von T in sich gibt, dnB fur jeden Punkt p E T gilt: vof(p) + p(p). (Unter einer Abbildung ist hisr immer eine eindeutige stetige Abbildung zu verstehen.) Herr Hopf hat u . a. bewiesen, daB a) ein kompakter und zusammenhiingender topologischer Raum keine freie Abbildung in die Gerade') und b) ein unikoharentes, lokal zusammenhangendes Kontinuum keine freie Abbildung in einen eindimensionalen topologischen Ranm2) zuliiBt. Darin ist der Satz enthalten: I. a) Fur n 2 1 gibt es keine freie Abbildung der n-dimensionalen Sphiire Sn in die Gerade 3' ; b) fur n 2 2 gibt es keine freie Abbildung der f i n in einen eindimensionalen topologischen Raum. Andererseits hat Herr Hopf gezeigt : 11. a) Fur jedes n 2 3 gibt es eine freie Abbildung der n-dimensionalen Sphiire in den n-dimensionalen Euklidischen Raum RVz3); b) fur jedes n 2 0 gibt es eine freie Abbildung der Sn in einen topologisehen Ra,um der IXmension A(n) mit n -+ I A(n) =-fur ungerade n , n A(%) = -g oder fur gerade n .4) Offen hlieben die folgenden Fragen : A. Gibt es eine freie Abbildung der Kugel S2 in die Ebene R2? B. Wie stark lafit sieh die Dimension der w-dimensionalen Sphiire f i n durch freie Abbildungen erniedrigen? Speziell: Gibt es fur jedes n eine freie Abbildung der n-dimensionalen Sphiire Sn in die Ebene R2? 1) [l], S. 56, Satz C:. a) [l], S. 36, Satz 110. 9 111, S. 51 und S. 57. 9 [I], S. 52-58, Nr. 23, 24, Dort wird, genauer, bewiesen: f sei die Abbildung der S* auf sich, die jedem Punkt der S" seinen Antipoden als Bildpunkt zuordnet; die Dimension der 8" liiBt sich durch eine bezuglich f freie (,,antipodenfreie") Abbildung auf A ( n ) , aber nicht weiter, erniedrigen. Welcher der beiden angegebenen Werte A(n) fur gerades n 2 4 zutrifft, bieibt unentschieden. * ) Diese Eigenschaft von fm wird bei der Definition der freien Abbildung nicht gefordert.

womit der Zusatz und (erst reoht) der Satz bewiesen ist.

Literatur.

[I] H. HOPF, Freie Abbildungen und freie uberdeckmgen. Fundamenta Math. AS, 33-67 [2] M. A. KRasaosnLs9lr, Zwei Probleme. Uspeohi mnt-t. Nauk 6, Nr.5 (a), 162-165 (1937). (1951) [Russisoh].