Eine charakterisierung einer klasse involutorisch erzeugter gruppen als bewegungsgruppen metrischer inzidenzstrukturen

✍ Scribed by M. Götzky; K. Johnsen

• Publisher: Springer
• Year: 1977
• Tongue: English
• Weight: 332 KB
• Volume: 6
• Category: Article
• ISSN: 0046-5755
• DOI: 10.1007/bf00147778

✦ Synopsis

M. GOTZKY UND K. JOHNSEN EINE CHARAKTERISIERUNG EINER KLASSE INVOLUTORISCH ERZEUGTER GRUPPEN ALS BEWEGUNGSGRUPPEN METRISCHER INZIDENZSTRUKTUREN 1. EINLEITUNG Ausgehend yon den durch F. Bachmann angeregten und durchgefiihrten Untersuchungen der Absoluten Geometrie [1] und der Theorie der Helmslevgruppen ([1], Supplement zur 2. Auflage und [2]) ist eine Reihe von Arbeiten tiber Geometrien involutorisch erzeugter Gruppen entstanden. In [3] und [4] wurde eine Klasse endlicher Gruppen beschrieben, in denen die Menge der Involutionen ein sehr allgemeines Axiomensystem einer nichtelliptische Spiegelungsgeometrie erfiillt. K. Strambach hat diese Axiome aufgegriffen und auf topologische Gruppen iibertragen [5]. Die Grundlage war die folgende Definition: DEFINITION. Sie G eine Gruppe, die von der Menge 1 = I(G) ihrer involutorischen Elemente erzeugt wird. Wenn in G eine nicht leere, unter inneren Automorphismen invariante Menge P = P(G) von Involutionen existiert, fiir die (i) e2nI= ~ (fiirP2:={A.B;A,B~P}) (ii) (IIP) 2 n I = P gilt, so heigt G eine durch P geometrisierbare Gruppe. P heil3t die Menge der Punkte, S := liP die Menge der Geraden. Einer solchen Gruppe Gist eine metrische Inzidenzstruktur E = E(G, P) = (P,S, I) mit ulv genau dann wenn u.vEI (ftir u, veI) zugeordnet. E = E(G, P) heil3t die Gruppenebene von G beziiglich P. G = G/Z(G) ist (via innere Automorphismen) eine Automorphismengruppe von E. Unser Ziel in dieser Arbeit ist zu zeigen, dab die endlichen geometrisierbaren Gruppen genau die Bewegungsgruppen einer breiten nattirlichen Klasse metrischer Inzidenzstrukturen sind. Die Forderung der Endlichkeit erweist sich als nicht wesentlich, sie kann zum Beispiel durch die Forderung der Existenz der Lore ersetzt werden. Unter einer metrischen Inzidenzstruktur g m6ge ein Tripel ~; = (q3, N, l) aus nichtleeren Mengen ~, ~ und I ~< ~ x ~ u N x N verstanden werden. Die Elemente yon q3 heiBen Punkte und werden durch grof3e lateinische