Eine Charakterisierung der endlichen Gruppen, welche bezüglich geeigneter Erzeugendensysteme Hjelmslevgruppen sind
✍ Scribed by M. Götzky; K. Johnsen
- Publisher
- Springer
- Year
- 1973
- Tongue
- English
- Weight
- 167 KB
- Volume
- 2
- Category
- Article
- ISSN
- 0046-5755
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✦ Synopsis
Einen wesentlichen Teil des Supplementes zur zweiten Auflage seines Buches [1] hat F. Bachmann den Hjelmslevgruppen gewidmet. Das sind involutorisch erzeugte Gruppen (G, S), die einigen Axiomen geniigen, welche in der Geometrie der involutorischen Elemente yon G unmittelbar geometrische Bedeutung haben.
Die Hjelmslevgruppen bilden eine nattidiche Klasse von Gruppen, in denen der Satz yon den drei Spiegelungen gilt. Sie besitzen eine sehr reiche und interessante geometrische Struktur. 1 Dies legt nahe, eine gruppentheoretische Beschreibung ftir die Klasse der Gruppen G zu suchen, welche beztiglich eines geeigneten Erzeugendensystems Hjelmslevgruppen sind.
Wir werden zeigen: Eine von ihren Untergruppen U vom Typ (2, 2) erzeugte endliche Gruppe G ist genau dann bezfiglich eines geeigneten Erzeugendensystems Hjelmslevgruppe, wenn No(U) fiir alle diese Untergruppen U eine Diedergruppe ist und G/O2,(G) ~ GL(2, 3) gilt.
Zun~chst ftihren wir den Begriff der Hjelmslevgruppe ein. Dazu gehen wir yon der folgenden Grundannahme aus: GRUNDANNAHME. Gist eine Gruppe mit einem involutorischen Erzeugendensystem S, welches unter inneren Automorphismen von G invariant ist.
Wir schreiben x] y fiir x, yEG mit x.y involutorisch. P sei die Menge der involutorischen Elemente aus S 2. I. DEFINITION. Eine der Grundannahme geniigende erzeugte Gruppe (G, S) heiBt (nicht ellipfische) Hjelmslevgruppe, wenn fiir A, B, C~ P und a, b, c, des folgende Axiome erftillt sind: A1 Zu A, b existiert ein c mit A, b I c. A2 Aus A, b ] c, d folgt c = d. A3 Aus a, b, c I d folgt abc~ S. A4 Aus a, b, c [ C folgt abc~S. AX Es gibt a, b~S mit a [ b.