Eine Bemerkung zu Gleitenden-Mittel-Darstellungen q-dimensionaler stationärer Prozesse
✍ Scribed by Lutz Klotz; Franz Schmidt
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1987
- Tongue
- English
- Weight
- 417 KB
- Volume
- 130
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
z a m 50. Geburtstag gezuidritet 1-on LVTZ KLOTZ in Leipzig und FRASZ SCHMIDT in Dresden (Eingegnngen am 23.11. 1983) Darstellungen durch gleitende Mittel spielen in der Theorie stationiirer Prozesse eine wichtige Rolle. Von A. N. KOLJ;OGOEO~ wurde bereits 1941 gezeigt, dalS eine eindimensionale stationiire Folge genau dann eine Darstellung durch gleitende Mittel besitzt, wenn ihr nichtzuf;illiges SpektralmaU beziiglich des LEEESGUEinnnes absolutstetig ist. Dabei ltnnn die Darstellung genau dann so gewiihlt werden, dalj rler von den Werten cler Polge aufgespannte Roum mit rlem von den Werten der in der Darstellung auftretenden Pundamentalfolge aufgespannten Raum zusammenftillt, weun die Spektraldichte der Folge f w t iiherall positiv ist [5; Sstz 16 Dieses Resultat wurde spater von verschiedenen Autoren sowohl auf Prozesse rnit anderer Parameterrnenge (reelle Achse, lokalkompakte AsELsche Gruppe) als auch auf Prozesse mit allgemeinerem Wertebereich ubertragen. Soweit uns bekannt ist, ist jedoch die Verallgemeinerung des KomroGoRovschen Resultates auf q-dimensionale (vektorwertige) stationare Prozesse nirgencls exakt angegeben. I n [ 9 ; Kap. I, 3 91 ist der Reweis unvollstandig, und in [7] ist sogar das Resultat (s. dort Satz 2 unddie Folgerung daraus) nicht korrekt forinuliert 1). Ziel dieser kurzen Note ist es, eine exakte Verallgerneinerung der Aussage von KOLMOGOROV anzugeben. und zwar fur den Fall p-dimensionaler stationarer Prozesse auf lokalkompakten ABELschen Gruppen. Furp, q= 1, 2, ... seien Ip diep-reihige Einheitsrnatris, Op,g die Nullmatrix a u s p Zeilen uncl p Spalten uncl 0 , : = Op,p. Ferner sei uncl Sat2 171. fur j = O fiir j = p . 1) Anm. bei der Horrektur : Einen vollstiindigen Beiveis der entsprechenden Aussage fiir q-dimensionale stationilre Prozesse mit stetiger bzw. diskreter Zeit findet man in E. J. HANXAK, Multiple time series, New York -London -Sydney -Toronto 1970, Theorem 15 bzw. 15'.