✍ Scribed by Rolf-Peter Holzapfel
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C sei eine dichte Teilkategorie der Kategorie aller R-Moduln (R ist kommutativer Ring mit Einselement). Auf naturliche Weise erhalten wir eine Iilasseneinteilung im Untermodulverband 11 ( M ) eines R-Moduls M , indem wir zwei Untermoduln K , L von X , K & L identifizieren, wenn L/K in C liegt. Ein Ziel dieser Arbeit ist es, ,,modulo C" das Zerlegungsverhalten in einem Modul zu untersuchen, insbesondere, ob in einem C-noetherschen Modul (speziell in p-noetherschen Moduln, die in der Algebraisclien Geometrie eine Rolle spielen; vgl. [B]) jeder Untermodul ,,modulo C" Durchschnitt von endlich vielen primaren Untermoduln ist und inwiefern Eindeutigkeit herrscht. Dazu wird eine Zerlegungstheorie fur die Klassen entwickelt, von der aus man d a m auf das Zerlegungsverhalten ,,modulo C" schliel3t. Es stellt sich heraus, daB die Menge der Klassen fI ( N ) / C einen Verband darstellt derart, da13 eine Multiplikation der Ringelemente mit den Klassen erklart ist. Solch eine Struktur bezeichnen wir als R-Verband. I n Abschnitt I11 wird an Hand eines Gegenbeispiels gezeigt, da13 eine Multiplikation der Ideale von R mit den Elementen von 9 ( M ) / C nicht reprasentantenweise erklart ist, so da13 fJ (,M)/C im allgemeinen keine 3 (R)-Algebra im Sinne von LESIEUR und CROISOT ist (siehe [L. C.]). Die Zerlegungstheorie von LESIEUR und CROISOT versagt also in unserem Falle. Deswegen mulj eine Primarzerlegungstheorie fur R-Verbande entwickelt werden. Diese wird in der vorliegenden Arbeit in den Vordergrund gestellt, weil sie von grol3er Allgemeinheit ist. Sie enthalt als Spezialfalle die Primarzerlegungstheorien fur R-Moduln, allgemeiner fur fJ ( M ) / C , wie bereits oben bemerkt wurde, fur den Idealverband von kommutativen Halbgruppen und fur den Kongruenzrelationenverband einer kommutativen Halbgruppe mit Einselement.
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