Einleitung
Iii eiiier fruheren Arbeit) [l] habeii wir gezeigt, da13 es moglich uiid siiiuvoll ist, die SoBoLEwschen Raume Wg) (G) [ 2 ; 9 71 auch dann einzufuhren.
weiiii das zugruiide liegende Gebiet G unbeschrankt ist. Wir haben dort bemerkt, da13 die SoBoLEwschen Einbettungssatze [ 2 ; 5 81 fur unbeschrankte Gebiete nicht gelten. Wir zeigen im ersten Abschnitt dieser Arbeit, wie niaii die Einbettungssatze abandern mu13, damit sie fur beliebige Gebiete Gultigkeit behalten. Die Beweise sind nur Modifikationen der entsprecheiideii Beweise voii SOBOLEW. Im zweiten Abschnitt fuhren wir mit Hilfe der Einbettungssatze Unterraume von Wg)(G) ein, die wir bei der Losung bestimniter Bfinimuinprobleme im dritten Abschnitt benotigen. Durch diese ,Ninimumprobleme wird unter anderem das zweite Randwertproblem fiir eiiieii bestimmten 1 ' -nichtlinearcr elliptischer Differentialgleichungm iii unbeschriinkten Gebieten erfa13t.
I. Die Einbettungssatze
Fur ein beliebiges Gebiet G im n-dimensionalen reellen Raum R, uiid eine in G definierte positive Funktion g bezeichnen wir mit C,(G) die Menge allcr in G definierten Funktionen u, fur die g u E C (G) ist, uiid iiiit Lp,, (G) die Menge aller in G definierten Funktionen u, fur die g u EL, (G) ist. W'ir setzeii II u Ilc = I 1 g u ]Ic bzw. I 1 u llLp,Q = I1 g u l l A, . C, (G) und L,, (G) sind in bezug auf diese Normierungen vollstandige BANAcH-Raume. Es sei G jetzt ein beliebiges sternformiges Gebiet im Raum R,. Den Mittelpunkt der Kugel C, in bezug auf die G sternformig ist, bezeichnen wir iiiit x0 und ihren Radius mit yo. Die Punkte von R, bezeichnen wir mit z = ( x ~. . . . , r,) bzw. y = (yl, . . . , yn). Unter 1x1 verstehen wir den Ab-Q Griiger, Ein,rttu~~,oss:itzc fiir die Sobole\-schen Riiume