Ein zufälliger Ergodensatz für eine Familie stochastischer Matrizen ohne gemeinsames invariantes Verteilungsgesetz. Zum Gedenken an Wolfgang Richter

✍ Scribed by Kurt Nawrotzki

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1975
• Tongue: English
• Weight: 660 KB
• Volume: 70
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19750700103

✦ Synopsis

Zu einer endlichen Menge A sei eine hochstens abzkhlbar unendliche Familie (K,),,x von stochastischen Matrizen K , = (K,(a, gegeben, die im allgemeinen kein gemeinsames invariantes Verteilungsgesetz besitzen. AuBerdein liege eine stationare zufallige Folge i,2,... mit Werten in X vor. Unter welchen Bedingungen und fur welche a, a' E A konvergiert dann die Folge i n fur n -GO? Dieses Problem tritt bei der Untersuchung des asymptotischen Verhaltens stochastischer Automaten auf, denen eine stationare zufallige Folge eingegeben wird (siehe [S]). 1. Es sei A eine nichtleere endliche Menge und '$I ihre Potenzmenge. Eine Matrix K = ( K ( a , heifit stochastische Matrix uber A , falls K(a, a') 2 0 fur alle a, a' E A und K(a, a') = 1 fur alle a E A gilt. Das Produkt zweier solcher Matrizen ist wieder eine stochastische Matrix uber A . Weiterhin sei X eine nichtleere, hochstens abzlhlbar unendliche Menge und Z ihre Potenzmenge. Eine zufallige Folge (En)n=1,2,,.. mit Werten in X wird dann, wie ublich, definiert durch einen Wahrscheinlichkeitsraum [X{',',...i, Zil,2 ), PI, in dem X(',z,...l die Menge aller Folgen ( x ~) ~= , , ? ,... mit X, E X fur alle n 2 1 darstellt und Z{i,2,,..l die kleinste o-Algebra bezeichnet, die alle Teilmengen von X'',2,...} der Form a'€ A ,,Em = X" = ( ( ~n ) n = i , a , . . . : xm =z x}, m 2 1, x E X enthalt. P ist ein Verteilungsgesetz auf dieser o-Algebra.

xi, . . . , x m E X u n d k z 1 Eine solche zufallige Folge (En)n=1,2,,., heil3t stationdr, wenn fur d l e m 2 1, " P ( , , E j + k == xi, * * . 7 E m + % = X, ) = P ( > > E i = XI , . . . , E m = Xm") gilt. Dabei reicht es aus, diese Eigenschaft fur k 2 1 zu fordern.