Die betrachteten Graphen konnen endlich oder unendlich sein, sollen aber keine Schlingen und Zweiecke enthalten. Ein Simplex ist ein Graph, in dem je zwei verschiedene Ecken durch eine Kante verbunden sind. 1st G ein Graph, so verstehen wir unter einer simplixialen Zerfallung (kurz : sZ) von G eine auf einen Abschnitt der Ordnungszahlreihe bezogene Familie 8 von Untergraphen 1) GA(A < a ; a eine Ordnungszahl > 0 ) mit folgenden Eigenschaften :
(1) G = u GA;
(3) S, ist sowohl in (J GA als auch in Gz als echter Teilgraph enthalten
Ein Graph heifit prim, wenn er nicht durch ein Simplex trennbar2) ist (oder, was dasselbe bedeutet, wenn er kejne sZ mit wenigstens zwei Gliedern besitzt). Jeder prime Untergraph eines Graphen G ist in einem maximal primen Untergraphen von G enthalten (s. [6], (1.4)). Es gilt folgender Zerlegungssatz (vgl. [6], Satz 5 ) : Jeder Graph ohne unendliches Simplex besitzt eine unverkurzbare Primgraphen-sZ (d. h. eine sZ, in der alle Glieder prim sind); die Glieder einer solchen sZ sind eindeutig bestimmt, und zwar sind es gerade die maximal primen Untergraphen von G. 1) Der Unterschied zwischen den Begriffen Teilgruph und Untergraph eines Graphen G besteht darin, daS ein Untergraph (im Gegensatz zu den Teilgraphen) ,,kantenvollstandig" in C7 sein muO. (Eine exakte Definition findet sich etwa in [4], S. 38.) 2 ) Eine Definition des trennenden TeiEgruphen findet sich z. B. in [4], S. 39.