Ein universeller Begriff für die Längen gemeiner Kurven

✍ Scribed by Josef Naas

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1965
• Tongue: English
• Weight: 598 KB
• Volume: 29
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19650290509

✦ Synopsis

Einleitnng

Im reellen euklidischen Raum En werden die Langen stetig differenzierbarer Kurven x ( t ) , definiert in einem kompakten Intervall Q = [a, b], durch jfmat Q berechnet.1) Der Begriff der Kurvenlange ist bisher nur fir einen echten Teilbereich der stetigen Kurven erkIW worden, in dem die stetig differenzierbaren Kurven enthalten sind. Wir stellen uns hier die Aufgabe, Kurvenliingen fiir einen vollen Erweiterungsbereich der stetigen Kurven des En anzugeben. Wir haben in [2] einen umfassenden Kurvenbegriff, dem neben anderen alle stetigen Kurven angehoren, die gemeinen Kurven eingefuhrt. Fur sie soll hier ein Weg gezeigt werden, wie man fiir jede die Kurvenliinge derart definieren kann, dai3 vier Minimalforderungen erfiillt werden. Eine solche Erweiterung ist fir Geometrie und Physik wiinschenswert, folgend dem schon von GALILEI vertretenen alten Grundsatz: ,,Alles messen, was meBbar ist, und versuchen meljbar zu machen, was es noch nicht ist" [4, Q 19, S. 1021.

Eine gemeine Kurve des E,, wird durch n Distributionen, die auf einem offenen Interval1 P reeller Zahlen definiert sind, als Vektor x = (31, . . . , x") dargestellt. Wir fordern :

1. Der iibliche Begriff der Kurvenliinge soll in der Weise erweitert werden, dal3 die Lhgen fiir jede gemeine Kurve x ( t ) C E, existieren; fur den Fall, daB x (t) in dem kompakten Teilintervall Q C P unendlich differenzierbar mit z' =+= 0 in Q ist, sollen die Liingen von x gleich