Eingegangen am 12.2.1985) I. Einleitung Wir betrachten zweifaoh zusammenhangende, schlichte ungerichtete Graphen G. Mit n bezeichnen wir die Anzahl der Knotenpunkte und mit vmin die Minimalvalenz von cf. Wir verlangen vmin 2 -. Eine Reihe von Autoren (ERDOS und HOBES (s. [S]), BOLLOBAS und HOBBS [2], JACKSON [8], NASH-WILLIAMS [9], BIGALKH und JUNG [l] u. a.) hat solche Graphen bezuglich der langsten Kreise untersucht. Unser Hauptergebnis ist der folgende Struktursatz. n 3 Sat2 1. C sei ein Kreis muximaler Lunge in einem 2-fach zusammenhcingenden Graphen G mit vmin 2 -. Dann ist G -C entweder ein kantenloser oder ein vollstcindiger n Graph. 3 Es zeigt sich, daB das Ergebnis dabei nur von G abhiingig ist : fur alle Iangsten Kreise C in G bekommen wir das gleiche G -C. Die Klasse X von Graphen, fiir die G -C ein vullstandiger Graph ist, wird im folgenden genau bestimmt. Sie umfaBt fiinf recht spezielle Typen von Graphen. Wenn C ein Kreis in G ist und keine Kante zwischen den Punkten von G -C existiert, SOU C Quasi-HuILToN-Kreis genannt werden. HARARY und NASH-WILLUS [7] haben gezeigt, daB der Liniengraph L(G) eines Graphen C genau dann einen HAWIL-ToN-Kreis besitzt, wenn entweder Q! einen Quasi-HAmmoN-Kreis besitzt oder Q! ein paarer Graph K l , 8 (s 2 3) ist. Wir geben das folgende Existenzkriteriuiii fur Quasi-HmToN-Kreise in G. n 0atz 2. Fur einen 2-fach zusammenhangenden Graphen G mit vmin 2sind folgende Eigenschaften ciquivalent. 3 a) G besitzt einen Quasi-HmmaoN-Kreis. b) Jeder lcingste Kreis von G ist ein Quasi-HAmwoN-Kreis. c) G e X . n + 2 3 n 3 NASH-WILLIAMS [9] zeigte Eigensohaft b) unter der Voraussetzung vmln 2 -. BIOALKE und JUNG [l] bewiesen b) fiir nicht-kontraktible Graphen G mit vmin 2 -. Ein Graph ( X , U) heil3t kontraktibel, wenn es eine nichtleere Menge S & X von Knotenpunkten gibt, so daB G -S niehr als S Komponenten besitzt.