Betrachtet' man statinche normal-hyperbolische partielle Differentialgleichungen
vom Scheidt, Ein Mittelwert auf kompakten Mannigfaltigkeiten ergibt. Zt,x = ( X f T,; 1x1 = t> und T, ist der Tangentialraum von V im Punkte x. q,(X) = Exp,(X) fur X E T, bezeichnet die Exponentialabbildung im Purikte x und CT das Oberflachenelernent der dreidimensionalen Einheitskugel.
SchlieBlich bedeutet
u) lntegration langs der von z niit dein Tangentialvektor X ausgehenden Geodiitischen his p,(X).
Bei der Verifikation der Losung des Anfangswertprobleiiis werden folgende
In Q 2 wird der Mittelwert M , auf kompakten analytischen RIEMANNschen Mannigfaltigkeiten konstanter nichtpositiver Kriimmung K untersucht . M , ist ein linearer beschrankter nichtselbstadjungierter Operator in La( V ) . Neben der Eigenschaft der Vertauschbarkeit, M,[M,[j]] = M,[M,[f]], wird bewiesen, daB fur M , eine sogenannte Fundamentalidentitat gilt, eine Reziehung, die den iterierten Mittelwert M,M,[f] durch Mrf ausdruckt. 1st f eine Eigenfunktion von L, so folgt M , [ f ] ( x ) = v ( t ) f ( x ) und v(t) genugt einer gewohnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Dieser Sachverhalt ist umkehrbar. F u r den Mittelwert bei w
Die in Satz 12 bewiesene Eigenschaft stellt eine wesentliche Verallgemeinerung der Resultate von PLANCHEREL und POLYA in 1131 dar: Konvergiert M,f fur t -00 iin Sinne starker Konvergenz in L,(V) gegen g(x), so erfullt g ( r ) die Beziehung N,g = g(x) fur alle s, und es kann gezeigt wertlen, daB g(x) analytisch und eine Eigenfunktion zu L mit dem Eigenwert K ist.2) l /fdv 1 4n t-oo
- Die vorliegende Arbeit ist ein Auszug aus der Dissertation des Verfassers. Fur ihre Anregung sowie fur wertvolle Hinweise mochte ich Herrn Prof. Dr. P. GUNTHER recht herzlich danken.