Hewn Professor A lbrecht Pietsch z w n filnfxigsten GeburWag g e d m e t Von SIEGFRIED F'R~~SSDORF in Berlin (Eingegangen am 19.9.1983) C'erschiedene Klassen von finiten Elenlenten. inshesondere Splines, haben die hemerkenswerte Eigenschaft (vgl. die Abschnitte 2-5) (1) iI(I-P,J fPh[i-O fur L O . Hierbei hedeutet P/, den Orthoprojektor im Raum D ( D ) (oder im SoBomwraum Hb(D), R E R ) auf den rnterraum der finiten Elemente (z. B. der stuckweisen Polynome) iiber einem regulliren Gitter Dh des Gebietes D c R" mit der Maschenweite h. Die Funktion f wird als stetig (bzw. entsprechend glatt) in D vorausgesetzt, und //.I/ bezeichnet die entsprechende Operatornorm. Eine unmittelbare einfache, aher wichtige Folgeimng der Eigenschaft (1) ist die Konvergenz des GALER-Kixverfahrens (PI(, Ph) fur den Operator der Multiplikation mit der Funktion i, falls f ( x ) + O fiir alle T E D ist. Letzteres gilt heknnntlich nicht fur polynomiitle Ansatzfunktionen (vgl. [2]). ( 1 ) ist eine der grundlegenden Eigenschaften, auf denen in der vorliegenden Arbeit ein Lokalisierungsprinzip zur Untemuchung der Konvergenz (Stabilitiit) einer gewissen Klassevon Projektionsverfahren entwickelt wird (siehe Abschnitt 1). Eine solche Lokalisierungstechnik erlaubt es, den Beweis der Kon~rergenz (Stabilitat) von Spline-Ayproximationsmethoden fur eine ziemlich grol3e Klasse von Operatorgleichungen auf einfeche Modellgleichungen, fur die die Konvergenz (Stahilitat) bekannt ist. zuruckzufuhren. Das Lokalisierungsprinzip liefert u. a. neue Resultate (notwendige und hinreichende Konvergenz-und Stahilitatsbedingungen) iiber Kollokations-und iiher GALERKIN-hzw. GALERKIX-PETROV-Verfahren fur singulare Tntegralgleichungen mit unstetigen Koeffizienten auf gewhlossenen oder offenen Kurven (Abschnitte 2, 5 ) sowie fur geu-isse Klassen von Peeudodifferentialgleichungen (Abschnitt 3). Im Abschnitt 4 wird die Eigenschaft (I ) fur finite Element e im Sinne von M~CHLIN 161, die keine Splines zu sein hrauchen, gezeigt. Auf weitere mogliche Anwendungen der Ergehnisse des Abschnitts 1 wird an anderer Stelle einzugehen sein. In unserem Lokalisierungsprinzip haloen wir neben der Spezifik der Spline-Approximation einige Aspekte aus den lokalen Prinzipien von SIMONENKO [ 181 und yon GOCHBERG-KRTPNIK [3] heriicksichtigt. DiesePrinzipien sindhereitsin [4.5,17] 2. Jedem Operator AES ist eine Schar von Operatoren A,(tEJ) aus 8 zugeordnet, so dafi es fur beliebiges E ~O und t € J Operatoren T,EX(X. 27) und n,E3Kt mit $Qn ( A -At)ntPa-&,TtP,ii<~. Vn€-V, nZn,, gibt. BeInerkung 1. Wenn Q . E !?(IT) (BEN) gilt und wenn die letzte Redingung in I mit, 2 = I.' erfiillt ist, d a m ist,. wie man leicht einsieht, Redingung V.2 der folgen-fly)., ;:qp = Qt ( j = 1 * 2) .
I-.