Iterative Losungsverfahren habeii in der numerischen Mathematik weite Verbreitung gefunden mid sind in zahlreichen Arbeiten intensiv uiitersucht worden. &Ian hat in vielen Fallen Korivergcnzbedingungen aufgestellt und die Konvergenzgeschwindigkeit ermittelt. Oftmals ergaben sich gleichzeitig Existeiizaussagen iind Fehlerschranken fur die Naherungswerte. Mail bemerkt nun, dafi der Beweisgedanke bei vielen Verfahren derselbe ist. Es liegt daher nahe, nach einem moglichst umfassenden Verfahren zu suchen uiid hierfur einen Sstz herzuleiten, aus dem dann auf deduktivem Wege Aussagen fur die speziellen Verfahren gewoiinen werden konnen. Ein wichtiges Ergebnis dieser Art findet man in [3, 41; es ist vor allem auf das NEWTON-Verfahren mit seinen Verallgemeinerungen zugeschnitten, wahrend die Regula falsi und andere ableituiigsfreie Verfahren nicht einbezogen worden sind.
I n der vorliegenden Mitteilung werden Iterationsverfahren der Form (T7) h(xn-i,. . . , X , , _ k ) +-H(x,-,. . * * , x n -k ) ( ~nxgz-j) = 0 (n = k, k + I,. . .) betrachtet. Hieriii sind u. a. das gewohnliche Iterationsverfahreii, das NEWTON-Verfahren und die Regula falsi als Sonderfalle enthalten. Es wird ein Satz angegeben, aus dem man fur die von (V) erfafiten Verfahren wesentliche Konvergenzeigenschaften vollstlndig ablesen kann, insbesondere Voraussetzungeii fur die Konvergenz und den Wert der Konvergenzgeschwindigkeit. Letztere Zahl ist neben dem Aufwand pro Iterationsschritt eine wichtige Kenngrofie fur Iteratoii sverfahreii. Fur Fehlerabschatzungeii ist der Satz dagegen iiicht geeignet. Hierzu sei bezuglich des gewohnlichen Iterationsverfahreiis und des NEWTON-Verfahrens z. B. auf die Lehrbucher [4] und [6] verwiesen. Um verschiedenartige Anwendungen zuzulassen, werden die Betrachtungen in einem BANACH-Raum durchgefiihrt. Nach Zusamnienstellung 5*