Betrachtet wird ein VerzweigungsprozeD mit diskreter Zeit, bei dern Teilchen mit den Typen 1, . . . , n vorkommen. Die mittlere Anzahl Af der von einem Partikel vom Typ i in einem Schritt erzeugten Teilchen vom T y p j sei endlich (Die Existenz weiterer Momente wird nicht vorausgesetzt). Es wird gefordert, da13 es ein natiirliches t gibt, so da13 alle Elemente der t-ten Potenzen At der Matrix A der A: positiv sind. Das Verzweigungsschema sol1 also irreduzibel und aperiodisch sein.
AuBerdem wird angenommen, daD die dem Betrage nach grol3te charakteristische Wurzel der Matrix A kleiner ale 1 ist (subkritischer Fall).
Fur n = 1 (hier gibt es nur Teilchen eines Typs) bedeuten die Voraussetzungen zusaminengenommen, daD die mittlere Anzahl A : der von einem Teilchen in einem Schritt erzeugten Nachkommen positiv und kleiner ah 1 ist.
Zum Zeitpunkt 0 sei genau ein Teilchen vorhanden. Wir verfolgen jetzt die Verzweigung dieses Teilchens bis zur Zeit t und nehmen an, daB die Generation in t nichtleer ist. Nun streichen wir im Lebensbaum alle Aste, die nicht bis 1.
reichen. Dann gibt es einen letzten Zeitpunkt, in dem nur ein Teilchen vorhanden ist. Die bis t verbleibende Zeit c ( t ) laDt Rich in diesem Sinne als ,,&uellzeit" der Generation zur Zeit t interpretieren.
Anliegen dieser Note ist es, nachzuweisen, daB die bedingte Verteilung von ( ( f ) unter der Bedingung, daD zur Zeit t eine nichtleere Generation vorhanden ist, fur 1: + w gegen eine Grenzverteilung konvergiert, die uberdies unabhangig vom Anfangszustand ist. Die Verzweigung des reduzierten Lebensbaumes einer zur Zeit t vorhandenen Generation findet also im subkritischen Fall fur grol3e t erst ,,nahe vki t" statt.
Ein gewisser Zusammenhang besteht zu dem Regriff dea Verwandtschaftsgrades zweier Teilchen (degree of relationship) Lei RUHLER ([I]). Eine Unterordnung des hier dargestellten Grenzwertsatzes unter die Ergebnisse in [ 11 kann jedoch nicht vorgenommen werden.
Der Beweis des Satzes beruht auf' dem bekannten Grenzwertsatz 1.2., der besagt, dal3 uiiter den hier bestehenden Voraussetzungen die bedingte Verteilung des Vektors der Gesamtzahlen der Teilchen jedes Typs zur Zeit t unter der Bedingung, dal3 die Generation zur Zeit t nichtleer ist, fur t -.