Ein elementarer analytischer Beweis zur Eindeutigkeit des Abbildungsgrades im Rn
✍ Scribed by L. Führer
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1972
- Tongue
- English
- Weight
- 417 KB
- Volume
- 54
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Es gibt helianntlich eirie Reilio inehr oder iniiider koinldizierter Ronstruktlonen fiir den Abbildungsgrad iiri R" (s. z. B. [I, 2 , 3, 6, 6, 7, 9, 10 und I 11. Frei von simplizialen Jlethoden sol1 hier gezeigt werden, dan diese Honstruktioiien classelhe hefern. gensuer, daR diesel* Abbildungsgrad durch die von 11. N ~G L M O in [S] angegehenen Axionie eindeutig festgclegt 1st. Dieses Ergebnis erlaubt dann beispielswejse, den Zusaiiiinenliang Z\VJSchell Xhbildungsgrad u n d der in der algebraiscahen 'l'opologie iiblichen Definition des Sl)hRreilintlex zii klaveri. Ehenso ergibt sich ein einfacher Zus;minrenhang zwischen Abbildungsgrad in1 R ' und der (funktionen-thcoretlsc~hen) \'lndungsznhl (vgl. aiich [I 01).
Bezeichnungern. Fuirn 2 1 bezel chile R" den n-diniensionalen reellen Z;Lhlenrauin init der natiirlichen Basis und dem eublidischen Ahstand 1 . 1.
.I" lxzeich ne die JIenge nller offenen, bedehr&nkten und nichtleereii Teili ~i ~n g c n v o i i B", n n d Z Iwzeichne den didireten Rauin deu ganzen Zahlen.
Piir jetles T i (;J" sei D ( I ' ) der Rauin nller Paare (f, p ) , ~v o f: + A" stet12 init p R"\f(aU). AIan clenke sich n ( U ) htets niit der Topologie versehen. (lie von der Metrik p init erzeugt wird. Fiir jedes U J L bezeichneii D, ( U ) den Uirterraum von B ( U ) , der thus den Panren (j', p ) mit f 1 TJ von der Klasse C", und I), ( U ) deli Unterraum voii D1 ( U ) , der a115 den Psaren ( f , p ) mit d e t f ( r ) 4-0 fiir alle .I-E f ' ( p ) besteht.
Kach eiiieni
Satz von A. SARD (s. [2]) gilt fur jedes ( f , p ) aus B , ( U ) : lit 6 die Xenge der kritisrhen Punkte von f in U , so hat f ( K ) keine inneren Punkte. Ilemnnch liegt D, ( U ) dicht in D1 ( U ) , und dieses liegt narh den1 1) Die Ergebnisse siiid meiner Dissertation: Theorie des Bbbildimgsgrades in endlichdimensionalen Reumen, Freie Univ. Berlin. 197 1, entnommen.
17' "0 Fuhrer, Eiri Bcweis zur Eincteutigkeit des bbildungsgractes Satz von STOSE und J~EIERSTRASS offenlmr dicht in D ( U ) . Die folgende Definition entspricht der von M. P\T.lGUMO in [S] gegebenen Definition. Eine Familie d = ( ~l [ . ) ( -~, , , ~ heil3t Ahbildungsgrad in1 fi" nenn fur jedes U E J i L die folgenden Bedingunpen erfiillt sind: (0) d , 1st eine Abbildurig von D ( U ) in Z . (i) Sintl b': [O, I] x c' + Ii" und y : [O, I] -> K" stetige Ahloildunpen niit
y ( t ) E R"\P((t} J ac) fur alle t E LO, 11. so gilt d,(P (t, .), y ( t ) ) = dtT(F(O. .). y ( O ) ) fur alle t E [O. I]. ( 1 1 ) 1st p
init p E R " \ ( f ( ? U , ) [Jf(?Ujl)). so gilt d , -( f , P ) = &l(fltfi,p) i d,T,(S h 2 4 .
(117)
1st (,f, p ) E I ) ( U ) mit d,(f, p ) -r 0. so gillt es iniiidestens ein .r E ?J Illlt f ( 5 ) -p .