Ein algebraischer Begriff des invarianten Maßes und invariante Integration in abstrakten Räumen
✍ Scribed by Eike Hertel
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1979
- Tongue
- English
- Weight
- 414 KB
- Volume
- 88
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Eingegangen am 3.1.1977) 1. Der in der Arbeit [ 11 eingefuhrte Begriff der abstrakten bzw. allgemeinen Polyederstruktur stellt den algebraischen Hintergrund dar fur die verschiedenen Verallgemeinerungen, welche die Zerlegungstheorie euklidischer Polyeder im Zusammenhang mit Fragen der Inhalts-und MaBtheorie in den letzten Jahrzehnten erfahren hat. Dabei handelt es sich im wesentlichen um Strukturen vom Typ (P, + , -), wo P eine Menge mit der binhen Verknupfung + undein uber P erkliirter Aquivalenzbegriff ist. Zur Untersuchung solcher Strukturen wird die im allgemeinen von der Operation + unabhangige Aquivalenzrelation zu einer Zerlegungsgleichheit verallgemeinert, die mit + vertraglich ist. Ein wichtiges Problem hesteht dann in der Angabe von notwendigen und hinreichenden Bedingungen fur die Zerlegungsgleichheit zweier Elemente aus P. Diese Frage wurde in [ 11 mit sogenannten P-Abbildungen in gewisse Halbgruppen gelost. Unter diwen P-Abbildungen sind die reellwertigen von besonderem Interesse, da sie als invariante MaBe uber P aufgefaBt werden konnen. Der Invarianzhegriff bezieht sich darauf, daB zwei aquivalenten Elementen aus P dieselbe reelle Zahl zugeordnet werden soll. Die Aquivalenz kann dabei gleichwertig durch eine kpivalenzrelationiiber P oder eine Transformationsgruppe G uber P gegeben sein (vgl. [l], S. 61). Die Existenz des gewohnlichen invarianten MaBes von Punktmengen hangt dann wesentlich von der Struktur der Gruppe G ah, wie wohl zuerst die Untersuchungen von J. v. NEUMANN [3] gezeigt haben. Das geometrische PunktmengenmaB bezidht sich dabei auf die mengentheoretischen Operationen der Durchschnitts-und Vereinigungsbildung. Dagegen bezieht sich die Additivitat des P-MaBes auf eine beliebige, die ,,Algebra" (P, + , N ) charakterisierende, Operation + . Insofern ist dieser MaBbegriff algebraisch.