EBENE PROJEKTIVE EBENEN OBER NEOKORPERN 1. EINLEITUNG Eine projektive Ebene ~= (•, ~, e) heiBt topologisch, wenn Punkt-und Geradenraum mit Topologien versehen sind derart, dab Verbinden von Punkten, ' u', und Schneiden yon Geraden, ' n', stetig sind. Ist der Punktraum P lokal kompakt und zweidimensional, so sind schon P und ~ hom6omorph zur reellen projektiven Ebene ([11]). ~ heiBt dann zweidimensional oder eben. Einige grundlegende Ergebnisse aus [9] bis [19] seien hier kurz genannt. Die Punktmenge auf einer Geraden und das Geradenbiischel durch einen Punkt in einer ebenen projektiven Ebene ~ sind hom6omorph zur Kreislinie. Deshalb ist die duale Ebene ~* = (~, P, e) wieder eben. Kollineationen und Dualifftten sind stetig ([12]). Jede Kollineation hat einen Fixpunkt und eine Fixgerade. Eine involutorische Kollineation ist eine Spiegelung. Sie ist eindeutig durch Zentrum und Achse bestimmt. Da ein nicht ausgeartetes Viereck eine dichte Unterebene erzeugt, ist eine Kollineation mit einem Viereck von Fixpunkten die identische Abbildung. ([13])
Die Kollineationsgruppe einer ebenen projektiven Ebene ist eine h6chstens achtdimensionale Liegruppe. Ebenen mit einer mindestens fiinfdimensionalen Kollineationsgruppe sind desarguessch. Eine Ebene, deren Kollineationsgruppe genau vierdimensional ist, ist eine Moulton-Ebene. ([13]), [15])
1.1. HILFSSATZ ([15]). 1st A eine zusammenhangende, abgeschlossene Untergruppe der vollen Kollineationsgruppe einer nicht desarguesschen ebenen projektiven Ebene ~, und ist A nicht einfach, so gibt es einen Punkt und eine Gerade in ~, die unter allen Kollineationen aus A festbleiben.
Voraussetzungen "hinreichend vieler' Automorphismen-z.B. durch die 'Gr6Be' der Kollineationsgruppen, die Anzahl der Spiegelungen oder zentralen Kollineationen-sind h/iufig Ausgangspunkte einer Klassifikation projektiver Ebenen. In der vorliegenden Arbeit werden -f/Jr ebene projektive Ebenen -solche Voraussetzungen ersetzt durch Voraussetzungen'hinreichend vieler' Antiautomorphismen, und zwar in einer f/Jr diese spezifischen Form (vgl. 2.1):
(i) Alle Punkte einer Punktmenge A___P sind absolute Punkte yon Polaritaten yon P.