1. Einleituiig
Das Ziel dieser Arbeit ist es, deli folgenden Satz zu beweisen uiid damit, eine wohl auf R. H. BING zuruckgehende Frage zu beantworten (siehe z. B.
Satz 1. Jede differenzierbwe Xphaye inz d w idimensionalen euklidischen
Rnum E" i s t znhm.
Unter einer Sphiire verstehen wir dabei eiiie zur Kugeloberflache homoomorphe Teilmenge voii E J . Eine Sphare heifit differenzierbar, falls sie in jedem ihrer Punkte eine Tangentialebene besitzt und znhm, falls es einerL Homoomorphismus von E:) auf sich gibt,, der S auf die Oberflache der Einheitskugel abbildet"). Wir werden an Stelle des Satzes 1 den etwas scharferen Satz 2 beweisen, zu dessen Formulierung einige Begriffe notig sind, die zunachst, definiert seien.
[ 2 ] , s. 81). 7r Fur 0 < u < ~ ixnd B > 0 verst,ehen wir uiiter einem Doppelkegel 2 mit dem dffnungswinkel a und der Hohe /3 eine zur Menge D(a, p) = ( ( 5 1 1 5 2 , 53); 5; + 5; 5 (5:) tg 4 2 , I531 5 B) kongruerite Teilmenge von E3. (Hierbei wie auch spater denken wir den E3 auf cin festes CARTESiSCheS Koordinaterisystem bezogen, so dal3 wir seine Punkte als Zahlentripel aiisehen koiiiien.) 1st D eiii solcher Doppelkegel uiid h : E:) + XiJ eine Kongruenzabbildung, die D (u, B ) in D uberfuhrt, so nennen wir den Punkt s = h ( 0 , 0, 0) die Xpitze voii D und das Bild der fr1-Achse die Achse voii D. Die Menge D -( s ) besteht aus zwei Komponcnten, deren abgeschlossene Hullen als die x u D gehorenden Kegel bezeichnet werden. *) Allgemeiner nennt man eine Teilmenge X eines cuklidischen Meumes En zahm, falls sich X durch einen Homoomorphismus von E n auf sich in ein (geradliniges) Polyeder uberfuhren 1aBt. DaB diese Definition fur Spharen in E3 mit der oben gegebenen ubereinstimmt, ist ein wolilbekannter Stltz von J. W. ALEXANDER. AIle hier gemachten Aussagen lassen sirh wortlich von Spharen auf beliebige geschlossene Flachen In E J verallgemeinern.