✍ Scribed by Günther Eisenack
No coin nor oath required. For personal study only.
Untersuchungsobjekt dieser Arbeit ist die Fixpunktanzahl stetiger Abbildungen f : X -, X mit Hilfe der Theorie der Fixpunktklassen. Diese Theorie ordnet, falls X ein konipakter (metrischer) ANR ist, jeder stetigen Abbildung f: X + x die NIELSEN-Zahl iL'(f) E hr U (0) zu, welche eine Homotopieinvariante ist. N ( f ) ist eine untere Schranke fiir die Anzahl der Fixpunkte von f und jeder zu f honiotopen Abbildung g : X 4 X . Fur kompakte n-Mannigfaltigkeiten rnit n 2 3 und simpliziale Komplexe mit Shi-Yedingung (W-ECKEN [12], SHI GEN HUA [ll], WEIER [13], R. F. BROWN [ 2 ] ) konnte gezeigt werden: Zu jeder stetigen Abbildung f : X + X gibt es eine zu f homotope Abbildung, die genau N ( f ) Fixpunkte besitzt. Fur kompakte ANR's mit dieser Eigenschaft (VC'ECKEN-Raume) lassen sich eine Reihe sehr interessanter fixpunkttheoretischer Aussagen herleiten ; etwa iiber die Umkehrung des LEFsCHETzschen Fixpunktsatzes, die Homotopietypinvarianz der Fixpunkteigenschaft oder die Existenz fixpunktfreier Deforinationen der Identitat (vgl. Abschilitt 5 ) . Diese interessanten Folgerungen motivieren den Versuch, die genannten Resultate zu verallgemeinern. Ein Hauptergebnis dieser Arbeit ist : Kompakte lokal-sinipliziale Raume (welche die simplizialen Komplexe und kompakten Mannigfaltigkeiten umfassen) mit Sm-Bedingung sind WECKEN-Rauille. Folgende Regriffe werden in dieser Arbeit benotigt (vgl. R . F. BROWN [3]) :
Pixpunktklasscn einer stetigen Abbildung f : X + X sind Aquivalenzklassen der Fixpunkte von f ; zwei Fixpunkte x, y von f gehoren zur selben Fixpunktklasse, wenn x, y durch eineii Weg c: I -+ X mit cfc (bei Homotopie von Wegen meinen wir stets Homotopie mit festgehaltenen Endpunkten) verbunden merden konnen. 1st X ein kompakter ANR -ANR's s e i e n in d i e s e r A r b e i t s t e t s m e t r j s c h -, so besitzt jede stetige Abbildung f : X X nur endlich viele Fixpunktklassen, und diese sind kompakt. Daher gibt es zu jeder Fixpunktklasse F von f eine Unigebung U von F , deren abgeschlossene Hulle keine Fixpunkte von f enthalt, die nicht schon in F liegen. Ale Index i ( F ) von F bezeichnet man den Pixpunktindex der Abbildung flu: U X. U'erden also die Indizes aller Fixpunktklassen von f summiert, erhalt rrian die LEFsCHETZzahl L(f) von f. 112 Eisenack, Die untere Grenze der Fixpunktanzahl Eine Fixpunktklasse P von f heiBt icescntlich, wenn i ( F ) + 0 und u?a~i?ese~atlieh, wenri i ( P ) = 0. Die Anzatil N ( f ) der wesentlichen Fixpunktklasseii von f hpiBt NIELSEN-Z~~Z von f u n d ist eine Homotopieinvnriailte. Deshalb hat jede zu f homotope Abbildung y : X + X mindejtens N ( f ) Fixpunkte. Das Hauptziel dieser Arbeit, eine zu f : X ---f X homotope Abbildung zu konstruieren, die genau N ( f ) Fixpunkte besitzt, vird durch homotope Abanderung voii f in folgenden drei Hchritteii erreicht. (a) Homotope Abanderung von f zu einer Abbildung rriit hochstens endlich (b) ,,Vereinigung" von Fixpunkten, die zur selben Fixpunktklasse gehoren. (e) Eiitfernung von Fixpunkten, die eine unwesentlivhe Fixpunktklasse bildcn. vielen Fixpunkten. Die Schritte (b) und (c) werden in EISEX~CK [ 5 ] eingehend untersucht; eine Kurzfassung geben wir in den Abschnitten 2 und 3.
📜 SIMILAR VOLUMES