DIE UNABHBNGIGKEIT DER ELEMENTAREN PRBDIKATENLOGISCHEN SCHLUSSREGELN Von KARL SCRROTER in Berlin I n einer vorgegebenen f ormalisierten Theorie ist die SchluBregel S bei Zugrundelegung der Menge G von SchluBregeln beweisbar (entbehrlich) genau dann, wenn fur jede Menge X von Ausdriicken die mit den SchluBregeln von 6 u { S } gebildete Ableitungsmenge von X gleich der nur mit den SchluBregeln von G gebildeten Ableitungsmenge von X ist. Infolgedessen ist entsprechcnd bei gegebener Menge G von SchluDregeln die SchluBregel S E G nicht beweisbar (nicht entbehrlich) genau dann, wenn es eine Menge X von Ausdriicken und einen Ausdruck H gibt, der zwar mit den SchluDregeln von G , aber nicht schon rnit den SchluBregeln von Q -{ S } aus X ableitbar ist. Wichtiger als diese absolute Beweisbarkeit (Entbehrlichkeit) von SchluBregeln ist die in bezug auf Ableitungen aus einer Menge X von Ausdriicken relativierte. Nach ihr ist die SchluBregel S bei Zugrundelegung der Rlenge G von SchluBregeln in bezug auf die Menge X von Ausdriicken beweisbar (entbehrlich) genau dann, wenn die mit den SchluBregeln von G u { S } gebildete Ableitungsmenge von X gleich der nur mit den SchluBregeln von Q gebildeten Ableitungsmenge von X ist. Entsprechend ist bei gegebener Menge G von SchluBregeln die SchluBregel S E G in bezug auf die Menge X von Ausdriicken nicht beweisbar (nicht entbehrlich) genau dann, wenn es einen Ausdruck H gibt, der zwar mit den SchluBregeln von G , aber nicht schon mit den' SchluBregeln von (5 -{ S} ableitbar ist. Mit Hilfe des hier entwickelten Begriffs der Unbew-eisbarkeit (Unentbehrlichkeit) von SchluBregeln laBt sich dann der Regriff der Unabhangigkeit einer Menge 6 von SchluBregeln festlegen. Wir nennen namlich die Menge Q von Schluhegeln in bezug auf die Menge X von Ausdriicken unabhiingig genau dann, wenn kein S E G bei Zugrundelegung von 6 -{ S} in bezug auf X beweisbar ist. Und die Menge Q von SchluBregeln heifit schlieBlich (im absoluten Sinn) unabhiingig genau dann, wenn fiir jedes S E G die SchluBregel S bei Zugrundelegung von (5 -{ S} in bezug auf jede Menge X von Ausdriicken unbeueisbar ist. Auf Grund des von G. ASSER~) vom Aussagenkalkul auf den Pradikatenkalkul iibertragenen Satzes von LINDENBAUM iiber die Charakterisierung der deduktiv abgeschlossenen Mengen ist, falls der Menge von SchluBregeln jedenfalls die Umbenennungsregeln fur freie und gebundene Variablen angehiiren, die SchluBl) G. ASSER, Eine semantische Charakterisierung der deduktiv abgeschlossenen Mengen des Priidikatenkalkuls der ersten Stufe. Diese Zeitschr. I, 3-28 (1955).