Die Scherksche Minimalfläche als Gegenstand einer anschaulichen geometrischen Deutung des Additionstheorems für das elliptische Integral 1. Gattung
✍ Scribed by Hans Jonas
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1952
- Tongue
- English
- Weight
- 625 KB
- Volume
- 8
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Einleitung. -Die Scherksche Miniiiialflache besitzt die interessante, vori LIE^) gefundene Eigenschaft, da13 sie auf unendlichfache Weise als Translation.flache erzeugt werden kann. Sie stellt sich nilmlich als Ortsflache der Sehnenmitten irgendeiner ihrer (nicht ausgearteten) Asyiiiptotenlinien dar, wobei es iibrigens des Zusatzes bedarf, daB die Konstruktion im Reellen nur einen die erzeugende Asyniptotenlinie enthaltenden Streifen der Flache liefert. Zu dein Satze von Lie wird im folgeriden eine Ergainzung gegeben : Bewegt sich auf der A s ymptotenlinie ein Bogenstuck von konstanter Lunge, so beschreibt der zugehorige Sehnenmittelpunkt eine As yrnptotenlinie der gleichen Schar ; wird die ,4s ymptotenlinie von zwei Punkten init derselben konstanten Geschwindigkeit im entgegengesetzten Sinne durchlaufen, SO besehreibt der Mittelpunkt d w Sehne eine A s y mptoteitlinie der anderen Schar.
Von hesonderer Bedeutung ist der Umstand, da13 zugleicli der bekanntlich sehr enge Kreis derjenigen Anwendungen des Eulerschen Additionstheorems erweitert wird, bei denen das elliptische Integral e r s t e r Gattung in der ansdiaulichen Bedeiitung einer Bogenlilnge auftr itt. Durch eine scliiefe Parallelprojektion oder, \ enn nian will, durch Betrachtung des Ausartungsfalles innerhalb der noch von einem konstanten Winkel abhangigen Schar Scherkscher Minimalfl&chen gelangt inan von dem Asyniptotenliniennetz zu einein ehenen Orthogonalnetz. Dieses ist tangential-parallel zu cleni Orthogonalsystein der konfokalen Kegelschnitte, ein Zusaiiinienhang, der auf die konforrne Abbildung durch die komplexe Fnnktion z = log m, ' + verbunden init einer Spiegelung ') S. LIE, Weitere Untersuchungen uber Minimalflachen. Arch. Math. Naturv.,