Eines der geldufigsteii Verfahreri in der reellen Analysis zur nalierungsweiseii Auflosung einer Gleichung (1) h(x) = 0 ist das Sekantenverfahren (Regula falsi). Das Ziel dieser Arbeit ist es, dieses Verfahren auf das System
( 2 ) f ( x , Y) = 0 , g ( x , Y) = 0 linter gewissen Voraussetzungen auszudehnen. An Literatur ist daruber wenig vorhanden. Eine erste Andeutung stammt von GAUSS, auf die ich durch das Werk [ 2 ] von OSTROWSKI aufmerksam wurde 1).
Ehe wir uns den Einzelheiten bei der naherungsweiseii Auflosung von ( 2 ) zuwenden, wollen wir die ganz einfachen analogeii Uberlegungen bei (1) angeben. Es seien G < xg reell; eine fur a 5 x 5 xo erklarte (reellwertige) Funktion h(x) heiBe konvex bzw. streng-konvex fur a 5 x 5 xo, wenn fiir beliebiges reelles A mit 0 < A < 1 und beliebige x', x" mit a 5 x' 5 x",
Wir geheii nun aus voii der stetigen, streng-konvexen Funktion h(x) mit h ( n ) < 0, h(xo) > 0 ; dann gibt es genau ein 5 mit a < 6 < xo und h(5) = 0 (Analogon zu 5 1). Vermoge a h ( a ) 11 ~ z,, h(x,,) I 1 = 0 (3) (n 2 0) p % + l 0 11
entsteht eine abnehmende Zahleiifolge mit h (x,J > 0 ; die Folge ( x , ~} ist durch 5 nach unten beschrankt und koiivergiert damit gegen ein gewisses
) I ; durch Grenziibergang in (3) folgt (aq ) h ( q ) = 0 und daraus h(q) = 0 ~ 1) Vgl.
[I] und [2], Appendix D.