DIE ALGEBREN EINBETTBARER BEROHRSTRUKTUREN O. EINLEITUNG Die drei klassischen Kreisgeometrien, die M6biusebene, die Laguerreebene und die Minkowskiebene, lassen sich darstellen einerseits mit Hilfe von quadratischen Algebren fiber R, andererseits als Schnittgeometrien von Quadriken des dreidimensionalen projektiven Raumes (vgl. [1]). Die Kreisgeometrien sind Beispiele ffir Berfihrstrukturen, die nach Benz [1] wie folgt definiert sind: Es seien P eine Menge von Punkten, ~ c q3(P) eine Menge von Ketten und H c p × p. Dann heiBt (P, R, II) Beriihrstruktur, wenn gelten: (i) zu a, b, c ~P mit a~-b, b-H-c, c-~a gibt es genau ein K~ ~ mit a, b, c ~K; (ii) [K[ /> 3 ffir alle K~, R ~ ~, (P}¢ R; (iii) zu a~P gibt es eine Beriihrrelation B~ ~-~ x R~ mit ~ := {K ~ R; a ~ K}, fiir die die folgenden Eigenschaften erffillt sind: (a) K1B~K2, K1 ~ K2 => {a) = KI n K2, (b) B~ ist eine .~quivalenzrelation, (c) zu K ~ ~ und a, b ~ P mit a ~ K, a ~ b gibt es genau ein L ~ R mit KB,~L. In vorangegangenen Arbeiten habe ich gezeigt, daf5 beide Darstellungsweisen ffir die klassischen Kreisgeometrien auch noch ffir eine gr6Bere Klasse yon Berfihrstrukturen m6glich sind [6], [7]: Es seien A eine kinematische Algebra vom Rang n fiber K-d.h. nach Karzel [8], [9], x 2 = -N(x) -x.k,, rnit N(x), k,: ~ K fiir alle x e A -und (.4, ~) die zugeh6rige Berfihrstruktur. Dann l~it3t sich (A, ~) im (n + 1)-dimensionalen projektiven Raum II = (A x K x K)*/K* fiber K darstellen als die Menge der Punkte der Quadrik O = {[a, s, t] ~II ; (a, s, t) ~ A x K x K, N(a) = st}, die nicht im Radikal bzgl. der zugeh6rigen Bilinearform liegen. Die Ketten sind genau die Schnitte von Omit solchen Ebenen von 13, die mit O keine ganze Gerade, jedoch mindestens drei Punkte gemeinsam haben. Die Erzeugenden sind die ganz in 0 gelegenen Geraden aus II, vermindert um ihre Punkte aus Rad II. In dieser Note soll gezeigt werden, dal3 die kinematischen auch die einzigen Algebren sind, deren zugeb6rigen Berfihrstrukturen sich in dieser Weise angeben lassen. Ausgangspunkt ist ein Ergebnis yon Benz [2], das leicht verallgemeinert wird. Im tibrigen wird auf die Definition und Ergebnisse aus [7] Bezug genommen.