Soit k un corps de caracte ristique 0. Un the oreÁ me de Coombes Harbater montre qu'un reve^tement galoisien de P 1 de finie sur k est de fini sur son corps des modules. Gra^ce aÁ une nouvelle approche, nous en donnons une forme plus pre cise. Notre me thode est constructive: elle permet de de terminer explicitement un modeÁ le du reve^tement de fini sur son corps des modules. Nous donnons une borne pour le degre et la hauteur des e quations de finissant le nouveau modeÁ le.
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Let k be a field of characteristic 0. From a result of Coombes and Harbater, every Galois cover of P 1 defined over k is defined over its field of moduli. Using a new approach we give a more precise form of this result. Our method is constructive: it leads to an explicit model of the cover over its field of moduli. We give an explicit bound for the degree and the height of the equations for the new model. 1999 Academic Press Mots-Cle s: reve^tements galoisiens; corps de fonctions; corps de de finition; corps des modules; descente. Soient k un corps de caracte ristique 0 et f : X Ä P 1 un reve^tement de fini sur k ouÁ X est une courbe projective lisse irre ductible. Le groupe de Galois G(k) :=Gal(k Âk) agit sur les varie te s alge briques de finies sur k . Si on note f { : X { Ä P 1 le reve^tement obtenu par l'action de { # G(k) sur f, on de finit le corps des modules de f comme le sous-corps de k fixe par tous les k-automorphismes { de k tels que f et f { soient isomorphes comme reve^tements. Le corps des modules de f est une extension alge brique de k contenue dans tous les corps de de finition de f contenant k. En ge ne ral le corps des modules n'est pas un corps de de finition: des contre-exemples sont donne s dans [CouGr, Cou]. Un the oreÁ me de Coombes Harbater [CoHa] montre cependant que c'est le cas pour les reve^tements galoisiens. Pour un expose plus complet sur la notion de corps des modules, voir [DeDo1, DeDo2].