DER SAT2 VOR' DILWORTII UXD SOUSLIN'S HYPOTHESE von KARSTEN STEFFESS in Hannover (BRD) Die Arbeit behandelt DILWORTHS Zerlegunpst hcorem fur halbgeordnete hlengen und SOI~SLINS Hypothese. Der Satz von DILWORTH wird erweitert auf o-Baume, auf q-Baume mit lauter endlichen Stufen und mf abzahlbare, halbgeordnete Mengen mit lauter endlichen Ketten. Bezeichnen wir mit DH die folgende Hypothese ,,Fur jeden tu,-Baum T rnit einer Machtigkeit IT1 = N, ist die maximale Anzahl von unvergleichbarm Elementen a u s T gleich der minimalen Anzahl von paarweise disjunkten Ketten, in (lie T zerfallt", so wird bewiesen, daB die SousuN-Hypothese SH ,,Es existiert kcin to,-Baum T mit hochstens abzahlbar unendlichen Ketten und Antiketten" aqui-~a l c n t zur DmwoRTH-Hypothese DH ist . Daher i u t D H unabhingig von dem ZERMELO-FRAENKELSChen System ZFC der Mengenlehre. 1st (H, 5 ) eine Halbordnung und sind verschiedene Elemente a, b a m H, so heiBen Q iind b vergleichbar, falls a b oder b 5 a ist, sonst heil3en sie unvergleichbar. Sei A cine Teilmenge von H, sind je zwei Elemcnte aus A vergleichbar, so bezeichnet man , 4 ELIS Kette ; sind je zwei verschiedene Elemente aus A unvergleichbar, so bezeichnet rum A als Antikette. Existiert, in H die maximale Anzahl von unvergleichbaren Eleriicntcn aus H, so sei maxunvcl(H) die maximale Anzahl von unvergleichbaren Elementen aus H . mindisket(H) sei die miniinale Anzahl von paarweise disjunkten Ket-
tcri, in die H zerflillt. S a t z 0. Ist H eine halbgeordnete Afenge und existiert maxunvel(H), so gilt: maxunvcl(H) 5 mindisket(H) lal. Ueweis. 1st A eine Antikette mit maxunvel(H) = IAI und ist 8 eine Zerlepng ~0 1 1 H in paarweise disjunkte Ketten, so kann in jeder Kette K E 3 hochstens ein Elcment aus der Antikette A liegen. Andererseits ist die Zerlegung von H in lauter cinelementige Mengen eine Zerlegung in (Ei(-viele disjunkte Ketten. F r a g e n . 1 ) Fur welche halbgeordnete Mengen H existiert maxunvel(H)? 2) Falls maxunvel(H) existiert, in welcher ,,Lagebeziehung" stehen maxunvel(H) und mindisket(H) auf dem Kardinalzahlenstrahl? a) 1st maxunvel(H) = mindisket(H)? b) 1st mindisket(H) ,,wesentlich" groBer als maxunvel(H), falls maxunrel(H) + IXc Rage 2) crinnert cntfernt an die Kontinuumhypothesc, in der ja aueh zwci Kardinalzahlcn N,+], 2*a vcrglichen werden. Bekanntlich ist N,+~ 2*a, aber s,+, = 2ni ist in ZFC unbeweisbnr und unwiderlegbar.