Q 6. Einige weitere Hiltssfltze 1. Im vorliegenden 2. Teil der Arbeit benutzen wir das Differenzenverfahren zur Untersuchung der Differenzierbarkeitseigenschaften der verallgemeinerten Liisung. Es wird nachgewiesen, daB die verallgemeinerte Losung im Falle n = 2 fur jedes G' c G zu Wi(G') g-hort und damit die Differentialgleichung (1.1) fast uberall in G erfullt.
- Zuniichst beweisen wir noch einige Aussagen uber Gitterfunktionen, die wir im weiteren benotigen. Muller, Dns Diflerenzenverfahren 3. sat2 6.2. Sei n = 2 . Dann gelten fiir jede auf dem Gitter R:h definierte Funktion w h mit h 5 n die Absch6tzungen wobei die Konstunte C uon a nicht abhiingt. ist beliebig. Die Wahl der Richtungen der Difjerenzenquotienten auf der rechten Seite Beweis. Wir weisen (6.3) beispielsweise fur die Kombinution D i , ' w h , of, wh nach. Die drei iibrigen Fiille werden ganz analog bewiesen. Fur ctlle M E o& gelte qi 5 ki 5 qg, = 1, 2. Wegen h 5 a gehoren die Punkte (ql h,k? h),(ql h,k2 h),(k,h,q2 h),(k,h,Q2 h) nicht zu Auf Grund der Eigenschaften von 5 gilt deshalb in diesen Punkten wh c h = 0, so daR wir fur ql < k, 5 Q, , q2 5 k2 5 q2 schreiben konnen:
inid weiter wegen c h ( q l h, k2 h) = 0 Geiiauso bekominen wir 3liiller, Daa Differenzenverfahren