✍ Scribed by J. Querré
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AVANT-PROPOS
CHAPITRE PREMIER. - Groupes
A. Morphismes de groupes
1. Classes suivant un sous-groupe
2. Noyau et image d'un morphisme de groupes
3. Produit et somme de groupes
4. Groupes cycliques
5. Propriété universelle du noyau - Applications
6. Suites normales. Suites de Jordan-Hölder
7. Groupes libres
B. Groupes opérant sur un ensemble
1. Définitions - Équation des classes
2. Ensembles homogènes
3. p-groupes
4. Groupes résolubles
5. Groupes de permutation
6. Caractères des groupes finis commutatifs
C. Groupes ordonnés
1. Ensembles inductifs
2. Groupes ordonnés commutatifs
3. Groupes reticulés
4. Groupes continus
Problèmes
CHAPITRE 2. - Anneaux
A. Morphismes d'anneaux
1. Notion d'idéal
2. Opérations sur les idéaux
3. Idéaux premiers et maximaux
4 Idéaux primaires
B Divisibilité dans un anneau
1. Anneaux principaux
2. Anneaux factoriels
3. Application de la divisibilité à l'analyse diophantienne
C. Anneaux de fractions
1. Construction d'un anneau de fractions
2. Idéaux d'un anneau de fractions
D. Anneaux noethériens et artiniens
1. Anneaux noethériens
2. Anneaux artiniens
Problèmes
CHAPITRE 3. - Corps
A. Extensions d'un corps commutatif
1. Extensions simples
2. Extensions finies
3. Extensions algébriques
B. Corps des racines d'un polynôme
1. Unité du corps des racines
2. Extensions séparables
3. Extensions normales
4. Normes, traces et discriminant
C. Corps finis
1. Propriétés des corps finis
2. Racines de l'unité
3. Polynômes cyclotomiques
D. Théorie de Galois
1. Groupe de Galois
2. Équations résolubles par radicaux
E. Corps ordonnés
1. Corps ordonnés
2. Valeurs absolues sur Q
Problèmes
CHAPITRE 4. - Modules
A. Modules
1. Définitions
2. Morphismes
3. Modules libres
4. Produits et somme de modules
5. Modules noethériens et artiniens
6. Modules sur un anneau principal
B. Catégories et foncteurs
1. Définition d'une catégorie
2. Problèmes universels
3. Produits et coproduits dans une catégorie
4. Foncteur
C. Produit tensoriel
1. Définitions
2. Propriétés du produit tensoriel
3. Foncteur tensoriel
4. Modules plats
Problèmes
CHAPITRE 5. - Entiers
A. Anneaux intégralement clos
1. Éléments entiers sur un anneau
2. Fermeture intégrale
3. Relèvement des idéaux premiers
B. Idéaux fractionnaires
1. Monoïde résidué des idéaux fractionnaires
2. Propriétés stables par platitude
3. Anneaux de valuation et de Prüfer
C. Anneaux complètement intégralement clos
1. Éléments quasi-entiers sur un anneau
2. Anneaux de Krull et Dedekind
D. Entiers algébriques
1. Discriminant et bases minimales
2. Norme d'un idéal
3. Décomposition des nombres premiers dans un corps algébrique
E. Théorème des zéros d'Hilbert
1. Dimension d'un anneau de polynômes
2. Théorème des zéros
Problèmes
PRINCIPALES NOTATIONS
INDEX ALPHABÉT1QUE DES MATIÈRES
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Downloaded from http://webusers.imj-prg.fr/~christian.blanchet/enseignement/2011-12/ch6_appl_galois.pdf Lecture notes, M1, Paris-Diderot (Paris 7), 2011-2012