A transverse surface crack is known to add to the shaft a local flexibility due to the stress-strain singularity in the vicinity of the crack tip. This flexibility can be represented by way of a 6 • 6 matrix describing the local flexibility in a short shaft element which includes the crack. This matrix has off-diagonal terms which cause coupling of motion along the directions which are indicated by the off-diagonal terms. Not all motions are coupled, however. To study the coupling of torsion and shear, a 3 • 3 flexibility matrix is used which includes the appropriate terms. Due to the shear terms of the Timoshenko beam equation of the shaft, bending vibration is finally coupled to torsional vibration. This effect is the subject of this investigation, which is of particular importance in turbomachinery operation. The equations of motion of a Timoshenko beam shaft with three degrees of freedom are derived. The free vibration of the shaft and the influence of the crack on the vibrational behaviour of the shaft is studied. The relation of the eigenvalues of the system, to the crack depth and the slenderness ratio of the shaft is derived. Moreover forced vibration analysis of the cracked shaft is performed. The significant influence of the bending vibration on the torsional vibration spectrum, and vice-versa, is demonstrated. It is believed that this effect can be very useful for rotor crack identification in service, which is of importance to turbomaehinery.
Kopplung zwisehen Biege-und Torsionsschwingungen einer Welle vom Timoshenko-Balkentyp mit RiB
Ubersicht: Bekanntlich verringert ein yon der Oberfl/iche in den Querschnitt reichender Rill infolge der Spannungs-nnd Verzerrungssingularit~t an der RiBspitze 5rtlich die Stcifigkeit einer Welle. Dies kann mit Hilfe einer 6 • 6-I~achgiebigkeitsmatrix f/Jr ein kurzes Wellenstfick, das den Ril~ enth~lt, beschrieben werden. Die Matrix enthglt Elemente aul]erhalb der Diagonalen, wodurch eine Kopplung der Bewegnngen in die 1~ichtungen erfolgt, welche das Element anzeigt. Nicht alle Bewegungen rind dabei verknfipft. Zur Untersuchung der Kopplung yon Torsion und Querschub wird eine 3 • 3-NachgiebigkeRsmatrix benutzt, die die betreffenden Elemente enth~lt. Infolge der Querkraft-Terme in der Timoshenko-Balkeugleichung werden letztendlich Biege-und Torsionsschwingungen gekoppelt. Dieser Effek~ ist Gegenstand der Untersuchung. Die Bewegungsgleichungen eines Timoshenko-Balkens mit 3 Freiheitsgraden werden hergeleitet. Die freien Schwingungen der Welle und der Einflul~ des Risses auf das Schwingungsverhalten werden untersucht. Die Beziehungen zwischen Eigenformen, RiBtiefe und Schlankheitsgrad der Welle werden hergeleRet. Darfiber hinaus werden erzwungene Schwingungen der angerissenen Welle untersueht. Der deutliehe EinfluB der Biegeschwingung auf das Spektrum der Torsionsschwingung und umgekehrt wird aufgezeigt. Dieser Effekt ist bei Turbomaschinen bedentsam, da er ffir die Identifizierung yon Rotorrissen beim Betrieb nfitzlich rein mfiBte.