Soit K/L une inclusion irre ductible d'indice fini de facteurs de type II 1 , on suppose que L est engendre par les sous-facteurs interme diaires M et N respectivement isomorphes aux produits croise s de K par les algeÁ bres de Kac A et B. On donne des conditions pour qu'il existe une inversion T sur A et B telle que L soit isomorphe au produit croise de K par le T-produit tensoriel de A et B. L'inversion T permet de de finir une action aÁ gauche # b de B sur A et une action aÁ droite # a de A sur B, M et N sont alors respectivement isomorphes au produit croise de
Re ciproquement, si le T-produit tensoriel de deux algeÁ bres de Kac A et B de dimension finie agit sur un facteur K de type II 1 par une action exte rieure $, l'inclusion $(K)/K < $ (A T B) remplit ces conditions et on obtient un carre bicommutatif de facteurs.
Let K/L be a irreducible inclusion of type II 1 factors with finite indice. We assume that L is generated by the intermediate subfactors M and N which are respectively isomorphic to the crossed product of K by the Kac algebras A and B. We give conditions so that there is an inversion T on A and B such that L is isomorphic to the crossed product of K by the T-tensor product of A and B. The inversion T defines a left action # b of B on A and a right action # a of A on B; then M and N are respectively isomorphic to the crossed product of K B by A < # b B and of K A by B < # a A. Conversely, if the T-tensor product of two Kac algebras A and B of finite dimension acts on a II 1 -factor K by an outer action $, the inclusion $(K)/K < $ (A T B) fulfills these conditions and we get a bicommutative square of factors.