CONSIDERATIONS ALGEBRIQUES SUR LA THEORIE DE LA DEMONSTRATION par NICOLAS BOTH B Cluj (Roumanie) Introduetiori Les operations de deduction dans la logique classique constituent un operateur de fermeture (voir, par exemple, ASSER [l] $5 6, 11 et RASIOWA, SIKORSKI [4] chap. V § 10). En definissant un operateur de fermeture sur l'ensemble des propositions on obtient une m6thode de deduction. Par consdquent il s'agit d'essayer de ddfinir des opkrateurs de fermeture Bur un ensemble -peut &re l'ensemble des propositionset d'etudier leurs implications dans la theorie du raisonnement. C'est le but du present travail, divise en deux parties. Dans la premikre on presente les operateurs de fermeture et leurs proprietds gdnerales utilisees dans la theorie de la d6monstration, inclusivement l'ind6pendance. (Pour l'indkpendance algebrique voir MARCZEWSKI [2].) Dans la deuxiBme partie du travail, B l'aide de l'operateur deductif 8,nous definissons la theorie deductive i5. = (L, C, A ) dans laquelle on introduit la notion de demonstration. Dam l'ensemble s(5) des demonstrations dans 2, on definit, la relation de similitude (( z )) et l'addition ((# H et on montre que (( )) est congruence dans l'algkbre
(3 (2) , # ) . Au moyen de l'ensemble-quotient 9 (S)/ on introduit la notion de correctitude et sa liaison avec la permission. En plus des notations expliquees dam le texte on dksigne par % ( M ) (3(M)) l'ensemble des sous-ensembles (finis) de M , par jilll le cardinal de M . Aussi a, e, c designent l'implication et equivalence logique et l'inclusion stricte.
I. Operateurs de fermeture
- L'application J : %(M) + %(ill) avec les proprietks J.l. X Y J ( X ) J ( Y ) , J.S. X J ( X ) , J.3. J J ( X ) = J ( X ) est appelee ope'rateur de fermeture sur M . Si de plus 5.4. J ( X ) 5 U J ( Y ) .
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Lemme 1.2. J*(0) = J ( 0 ) . ThdorBme 1.3. Xi J est un opkrateur alge'brique de fermeture alors pour tout x E J ( X ) it y a Y DemonstIration. Soit x E J ( X ) , donc, avec 5.4 x E J ( X , ) o~ X , E 3 ( X ) . Si pour tout Xi c X,, x 4 J ( X , ) , celb signifie que x E J*(X,). Sinon, il y a X , c X , tel que
x E J ( X , ) et,' relativement B X, on obtient de nouveau l'une des deux possibilitds, dont la premiere fournit la demonstration tandis que la deuxiirme peut apparaitre un nombre fini de fois. Enfin, comme X , E %(X), dans ce cas on obtient X , = 0 et selon (1.2) x E J ( X k ) = J ( 0 ) = J* (0) = J* (X,) .
X tel que x E J * ( Y ) .
34 Ztschr. f. math. Logik