We prove the existence of a compact attractor for the Navier-Stokes equations of compressible fluid flow in one space dimension. We also show that the large-time behavior of a given solution is entirely determined by its values for all time at a finite number of points, given in terms of a certain dimensionless quantity associated with a canonical scaling of the system. Our results are based on a well-posedness theory for these equations which goes beyond previously known results. In particular, we establish the global existence and regularity of solutions with large external forces and large, nonsmooth initial data, with regularity estimates independent of time. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris Attructeurs compacts pour les bquations de Navier-Stokes d 'un jluide compressible monodimensionel R&urn& Dans cette Note nous &tab&sons l'existence d'un attracteur compact pour les iquations de Navier-Stokes gouvernant unJuide compressible en une dimension de l'espace. Nous montrons aussi que le comportement ir l'infini des solutions est entiPrement dPterminP par la connaissance de la solution en tout temps sur un ensemble$ni de points, dont le nombre est major& par une constante associPe ir une renormalisation canonique du systkme. Nos r&.dtats sent basis sur une tht?orie d'existence qui va au de& des r&ultats connus. En particulier, nous montrons 1 'existence globale de solutions borne'es pour de grandes forces et don&es initiales peu r&ditre.s. 0 AcadCmie des ScienceslElsevier, Paris Version frangaise abr6g6e Dans cette Note nous Ctablissons l'existence d'un attracteur compact pour les equations de Navier-Stokes gouvemant un fluide compressible en une dimension de l'espace. Nous montrons aussi que le comportement B l'infini des solutions est entikrement determine par la connaissance de la solution en tout temps sur un ensemble fini de points, dont le nombre est majort par une constante associCe Note prCsentCe par Pierre-Louis LIONS. 0764-4442/99/03280239 0 AcadCmie des ScienceslElsevier, Paris D. Hoff, M. Ziane a une renormalisation canonique du systeme (voir 131, [5]). Nos resultats sont bases sur une theorie d'existence qui va au dela des resultats connus. En particulier, nous montrons l'existence et la regularit& globale de solutions pour de grandes forces et donnees initiales peu regulieres. De plus, nous Ctablissons des estimations uniformes qui sont suffisantes pour obtenir la dissipativitt n6cessaire pour l'analyse asymptotique des solutions quand le temps tend vers l'infini.
Du fait de la persistance des discontinuitts dans la densite pour tout t > 0: le semi-processus associe au systeme n'est pas compact. Cette difficult6 est resolue par I'exploitation d'un certain effet hyperbolique qui regularise la densite en temps infini, c'est-a-dire que le semi-processus est asymptotiquement compact.
Dans le but de simplifier la presentation, nous decrivons seulement nos resultats dans le cas simple ou la densite initiale est dans l'espace de Sobolev Hi. Le cas general ou la densite est dans l'espace de fonctions a variations born&es, est trait& dans 181.