We show the existence of the Chow-Künneth projectors for certain varieties, including Kuga-Shimura varieties of Hilbert modular varieties. The Chow-Künneth projectors of a smooth projective variety are, by definition, mutually orthogonal idempotents of the Chow ring of self-correspondences which give decomposition of the total cohomology of the variety into degree pieces. To cite this article: B.B. Gordon et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 745-750. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Projecteurs de Chow-Künneth pour des variétés modulaires Résumé Nous démontrons l'existence des projecteurs de Chow-Künneth pour certaines variétés, incluant les variétés de Kuga-Shimura des variétés modulaires de Hilbert. Les projecteurs de Chow-Künneth d'une variété lisse projective sont par définition des idempotents orthogonaux de l'anneau de Chow des auto-correspondances qui donnent la décomposition par les degrés de la cohomologie totale de la variété. Pour citer cet article : B.B. Gordon et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 745-750. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Version française abrégée
Soit X une variété lisse de dimension d sur un corps k. Les projections de Chow-Künneth de X [13] sont des éléments i , i = 0, . . . , 2d, de l'anneau correspondant CH d (X × X) vérifiant les conditions suivantes :
-Les i sont des projections orthogonales et i i = X (classe de la diagonale).
-Si H * (X) = 2d i=0 H i (X) est une cohomologie de Weil, alors i agit sur elle comme la projection de H i (X). (Dans cet article on prend k = C et H i (X) est la cohomologie de Betti.) Soitent X et S des variétés projections sur C, X lisse et p : X → S une application projective. Supposons la situation suivante : S 0 ⊂ S est un ensemble ouvert, régulier sur C tel que = S -S 0 , le complémentaire, soit un nombre fini de points et que p soit lisse sur S 0 . Soient X 0 = p -1 (S 0 ) et p 0 : X 0 → S 0 la restriction de p. Le complémentaire X -X 0 est supposé être un diviseur avec croisements normaux. Il existe une résolution des singularités p : S → S (un isomorphisme sur S 0 ) tel que p se factorise par S. Nous supposons que S -S 0 soit un diviseur avec croisements normaux. Soit d = dim Xdim S.
THÉORÈME. -Soit p : X → S vérifiant les hypothéses suivantes : (i) Les composants irréducibles de S -S 0 sont des variétés toriques projectives, lisses. (ii) Les composants de X -X 0 sont des variétés toriques projectives, lisses.