Von MILAN KOLIBIAR in Bratislava
Einleitung
Wie GLIVENKO gezeigt hat, sind in einem metrischen Verband folgende zwei Bedingungen aquivalent : (1) @(a, 4 + e ( x . b) = e ( a , b ) : (e ( a , b) ist der Abstand von u und b) ,
1st in einem metrischen Raum (in einem beliebigennicht notwendig metrischen -Verband) die Bedingung (1) (die Bedingung (2)) erfullt, SO sagt man, daB x zwischen a und b liegt.
Bei der Charakterisierung derjenigen metrischen Raume, die (bei passender Erklarung der Verbandsoperationen) zu metrischen Verblinden werden konnen, kommen von den metrischen Eigenschaften nur die Eigenschaften der durch (1) erklarten Relation ,,zwischen" vor. Daher liegt es nahe, statt des metrischen Raumes eine abstrakte Menge K zu betrachten, in der eine ternare Relation ,,zwischen" erkliirt ist, die wir mit abc bezeichnen wollen. Man kann nun nach den Bedingungen fragen, die ein solches System K erfullen muB, damit man in der Menge K einen Verband definieren kann, in dem ( 2) genau dann gilt, wenn a x b . Im Falle der modularen Verbhde hat solche Bedingungen L.M.KELLY [2] angegeben. M. F. SMILEY und W. R. TRANSUE [3] haben solche Bedingungen fur beliebige (nicht notwendig modulere) Verbande, aber mit Nullelement angegeben. In dieser Note werden wir zwei Postulatengruppen fur solche Systeme K mit der Relation ,,zwischen" angeben, die beliebige Verbande charakterisieren (Abschn.4, Siitze 5, 6). Zu diesem Zwecke zeigen wir zuerst, wie man einen Verband mit Hilfe von gewissen Intervallen (sog. Segmenten) charakterisieren kann (Abschn. 3, Satz 3). Die Betrachtungen uber Segmente knupfen an die Arbeit [4] an, wo ein Postulatensystem fiir Segmente in distributiven Verbanden mit Null-und Einselement angegeben ist. 1) ttber die Resultate dieser Arbeit wurde auf der Tagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1957 in Dresden berichtet. 7 Ztschr. I. math. Logik