Nous donnons les valeurs des sommes de Gauss associe es aÁ des caracteÁ res multiplicatifs d'ordre l r sur une extension de F p lorsque le couple ( p, l r ) satisfait des conditions dites re sidus quadratiques.
1997 Academic Press
1. SOMMES DE GAUSS
Soit K une extension de degre f de F p . Pour tout caracteÁ re multiplicatif * de K, G K (*) de signe la somme de Gauss x # K _ *(x) trKÂFp(x) p , ou Á p est une racine primitive complexe p-ieÁ me de l'unite . Si * est trivial alors la somme de Gauss vaut &1 sinon G K (*) est un nombre complexe de module p fÂ2 .
The ore me 1.1. Si L est une extension finie de K alors
C'est le the oreÁ me de Hasse Davenport, voir par exemple [9,11]. Soit m un entier premier avec p tel que K soit le corps de de composition de X m &1 sur F p . Re soudre le probleÁ me des sommes de Gauss d'ordre m, c'est de terminer les valeurs des sommes de Gauss pour tous les caracteÁ res multiplicatifs de K d'ordre divisant m. Lorsque le probleÁ me des sommes de Gauss est re solu pour l'entier m, le the oreÁ me de Davenport-Hasse permet de calculer toutes les sommes de Gauss faisant intervenir un caracteÁ re d'ordre m sur une extension quelconque de F p . Le probleÁ me des sommes de Gauss a e te re solu pour des petites valeurs de m, voir [3, 5 7, 10]. Dans le cas semi-primitif, c'est-aÁ -dire lorsque &1 est dans le sous-groupe de (ZÂmZ)* engendre par p, le probleÁ me des sommes de Gauss est compleÁ tement re solu, voir [12].