Ton HEINBICH RRANDT in Halle (Saale).
(Eingegangen am 27. 12. 1951.)
- Biniire quadratische Formen irn GauBschen Za hlkorper sind zuerst von G. LXJEUNE DIRICHLET~) und G. EISENSTEIN 2, beliandelt worden. Beide legten den Hauptwert auf die BestirnmL~ng der Klassenzahl, wobei Dirichlet bemerkenswerte Ergehnisse erzielte. If. J. ST, SMITH3) fuhrte die Untersudinngen in anderer Riclitung weiter. E r hestimmte die Vharaktere und die zwischen i hnen ttestehende, fur die Existenz notweiidige und hinreichende Bedingung. Seine Untersuchungen erfordern aber sehr muhsame Einzelbetra,chtungen. Redient man sicli jedoch der neuen Forniulierung, welche ich dem Rezipiozitatsgesetz gegeben habe4), und bezieht die Charaktere gleichzeitig auf die Primdiskriminanten, so kann die Frage nach den moglichen Charakteren und der zwischen ihnen bestehenden Xxistenzbedingung nacli einer alle Falle gleiclirrrkBig umfassenden einheitlichen Methode behandelt werden.
2. Fur das Reziprozitatsgesetz im GauBschen Zahlkorper Iiabe ich zwei
Formulierungen gegeben, die sich beide durch Allgerneinheit, Einfachheit und hequeme Anwend barkeit auszeichnen. Dabei werden die ~g a n z i i n g s s a t z ~ =lita den1 Hauptgesetz zusammengefaBt, so daB keine Xonderbetrachtungen notig sind. Fur die erste Formulierung benotigen wir den von GAUSS eingefiihrten Begriff der prirnliren ungeraden Zahl, fur den wir die erste der von ihni gegehenen Definitionen bevorziigen6). 1st 01 = U , + ia, ungerade, also eine der Koiiiponenten a,, a, ungerade, die andere gerade, so nennen wir diejenige eindeutig bestinimte der vier nssoziierten Zahlen 01, i a, -01, -i L, deren Iniaginarteil gerade und deren 1 ) G. LEJEUNM DIRICHLET, Recherches sur les formes quadratiques it coefficients et h indktermin6es complexes. J. reine angew. Math. 24, 291-371 (1842) = Werke 1, Berlin 1889, 2) G. EISENSTEIN, t'ber die Anzahl der quadratiochen Formen, welche in der Theorie drr komplexen Zahlen zu einer reellen Determinante gehoren. J. reine angew. Math. 27, 80-81 (1844); t'ber die Anzahl der q u ~r a t i s c h ~n Formen in den verschiedenen komplexen Theorien. J. reine angew. Math. 27', 311-316 (1844). 3) H. J. ST. SNITH, On complex binary quadratic forms. Proo. It. Soc. London 13, 278-298 (1864) = Collected papers I, Oxford 1894, 418-442.